Question

在三角形ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosB+ccosC=acosA,试判断三角形ABC的形状。

Answer 1

三角形ABC为直角三角形
等式两端同时乘以2R，根据正弦定理有
sinBcosB+sinCcosC=sinAcosA
sin2B+sin2C=sin2A
2sin(B+C)cos(B-C)=2sinAcosA
显然sinA=sin(B+C)不等于0，
上式化简得cos(B-C)=cosA
不妨设∠B>∠C
那么有B-C=A
B=A+C=90°
综上三角形ABC为直角三角形，且B,C中的较大角为直角

Answer 2

∵bcosB+ccosC=acosA
∴sinAcosA=sinBcosB+sinCcosC
∴sin2A=sin2B+sin2C
∴sin2A=2sin(B+C)cos(B-C)
∴2sinAcosA-2sinAcos(B-C)=0
∴sinA[cosA-cos(B-C)]=0
∴cos(B-C)+cos(B+C)=0
∴cosBcosC=0
∴cosB=0或cosC=0
∴三角形ABC为直角三角形