一个数学问题,急求答案!!!!!!!!!!!!!!!! 5
设f(x)在区间〔-1,1〕上可微,f(0)=0,且存在常数M>0,使得对任意x∈〔-1,1〕都有│f'(x)│≤M.证明：对任意的x∈〔-1,1〕都有│f(x)│≤M....
设f(x)在区间〔-1,1〕上可微,f(0)=0,且存在常数M>0,使得对任意x∈〔-1,1〕都有│f'(x)│≤M.
证明：对任意的x∈〔-1,1〕都有 │f(x)│≤M.
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证明：对任意的x∈〔-1,1〕都有 │f(x)│≤M.
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根据拉格郎日中值定理
对任意的a属于〔-1,1〕，存在x
使得f(a)-f(0)=f'(x)(a-0)
因为f(0)=0
所以f(a)=f'(x)a
因为对任意x∈〔-1,1〕都有│f'(x)│≤M
所以|f(a)|≤M|a|
因为a∈〔-1,1〕
所以M|a|≤M
所以对任意的a属于〔-1,1〕，都有
|f(a)|≤M
结论得证
对任意的a属于〔-1,1〕，存在x
使得f(a)-f(0)=f'(x)(a-0)
因为f(0)=0
所以f(a)=f'(x)a
因为对任意x∈〔-1,1〕都有│f'(x)│≤M
所以|f(a)|≤M|a|
因为a∈〔-1,1〕
所以M|a|≤M
所以对任意的a属于〔-1,1〕，都有
|f(a)|≤M
结论得证
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