Question

方差与标准差

Answer 1

标准差（StandardDeviation），也称均方差（meansquareerror），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。公式：1、方差s=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+(xn-x)^2]/n(x为平均数)2、标准差=方差的算术平方根它们的意义：1、方差的意义在于反映了一组数据与其平均值的偏离程度；2、方差是衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。3、方差的特性在于：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。4、标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度。

我们可以代入期望的数学表达形式。比如连续随机变量：

Var(X)=E[(X−μ)2]=∫+∞−∞(x−μ)2f(x)dx

方差概念背后的逻辑很简单。一个取值与期望值的“距离”用两者差的平方表示。该平方值表示取值与分布中心的偏差程度。平方的最小取值为0。当取值与期望值相同时，此时不离散，平方为0，即“距离”最小；当随机变量偏离期望值时，平方增大。由于取值是随机的，不同取值的概率不同，我们根据概率对该平方进行加权平均，也就获得整体的离散程度——方差。

方差的平方根称为标准差(standard deviation, 简写std)。我们常用σ表示标准差

σ=Var(X)−−−−−−√

标准差也表示分布的离散程度。

正态分布的方差

根据上面的定义，可以算出正态分布

E(X)=1σ2π−−√∫+∞−∞xe−(x−μ)2/2σ2dx

的方差为

Var(X)=σ2

正态分布的标准差正等于正态分布中的参数σ。这正是我们使用字母σ来表示标准差的原因！