如何证明函数的零点个数?
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零点存在性定理
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。
证明:不妨设f(a)<0,f(b)>0.令
E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.
由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界,于是根据确界存在原理,
存在ξ=supE∈[a,b].
下证f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).).事实上,
(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知
存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,
这与supE为E的上界矛盾;
(ii)若f(ξ)>0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知
存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界,且x1<ξ,
这又与supE为E的最小上界矛盾。
综合(i)(ii),即推得f(ξ)=0。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。
证明:不妨设f(a)<0,f(b)>0.令
E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.
由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界,于是根据确界存在原理,
存在ξ=supE∈[a,b].
下证f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).).事实上,
(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知
存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,
这与supE为E的上界矛盾;
(ii)若f(ξ)>0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知
存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界,且x1<ξ,
这又与supE为E的最小上界矛盾。
综合(i)(ii),即推得f(ξ)=0。
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