Question

关于简谐振动的问题

Answer 1

分类: 理工学科
问题描述:

为什么物体的运动参量随时间按正弦或余弦规律变化，是物体受到大小跟位移成正比，方向恒相反的合外力作用的必然结果

解析:

这个问题的精确回答需要大学数学里“常微分方程”课程的知识。

首先，加速度a是位移x对时间的二阶导数，也就是a（t）＝x’’（t）。

其次，按照牛顿第二定律，合外力与加速度成正比：F（t）＝m＊a（t）。

最后，按照所给的条件，合外力与位移成正比且方向相反：F（t）＝－k＊x（t）。

综合以上三个等式得到关于位移x（t）的二阶常系数线性微分方程：

x’’（t）＝－k＊x（t）／m

这个方程的解x（t）描述了物体的运动状态。可以证明，这个方程的通解是

x（t）＝A＊sin（ω＊t＋φ）

其中A，φ为任意常数，而ω等于k／m的平方根。这就是简谐运动的方程，A与φ分别为振幅（取绝对值）与初相。