Question

sinx的tanx次方x趋于∏/2的极限是什么？

Answer 1

sinx的tanx次方x趋于∏/2的极限是1。

原式=lim(x→π/2) (1+sinx-1)^{[1/(sinx-1)](tanx)(sinx-1)}

=lim(x→π/2) e^[(tanx)(sinx-1)]

=e^ lim(x→π/2) (sinx-1)/cotx

=e^ lim(x→π/2) cosx/(- csc²x)

=e^0

=1。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

Answer 2

记 y = (sinx)^(tanx) ， 则 lny = tanxln(sinx) = ln(sinx)/cotx，得
lim<x→π/2> lny = lim<x→π/2> [ln(sinx)/cotx] (0/0)
= lim<x→π/2> [(cosx/sinx)/[-(cscx)^2] = - lim<x→π/2> (cosxsinx) = 0,
则 lim<x→π/2> y = lim<x→π/2> (sinx)^(tanx) = 1