Question

一道高一数学题，请问还有简便的方法吗？

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0。从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标。

我利用的是向量的方法，令P（x,y），M（-1+cosα,2+sinα），利用MC和MP两个向量垂直，和|PM|=|PO|这两个条件联立，才得出P点轨迹为一直线l：x-2y+2=0。要求使|PM|最小的点P的坐标，即求求使|PO|最小的点P的坐标，所以为l和CO的交点，得出P的坐标。

可我觉得这办法好麻烦，计算量也很大，我想请教一下，有没有更优的办法，分享一下，谢谢O(∩_∩)O~
大家都回答得超好！万分感谢~~郁闷的是我计算能力太差了，M（-1+√2cosα,2+√2sinα），所以l的方程可能也错了……很多人直接说取得最小值时P在CO上，为什么啊？我不懂……
tracy1jordan 呵呵，你说得对，谢谢~
dwtydwtyky 其中PC+PO<=CO （三角形）不等号方向错了……尤其感谢提醒我另外你上面的M的坐标,圆的半径是根号2~
Meteor_tx007 谢谢分享技巧~
韩增民松 想问下为什么能够依题意得出：满足|PM|=|PO|，且使|PM|最小的点P，至少有一点在OC上？感觉这是最关键的解题思路……

Answer 1

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0。从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标。
解：依题意，满足|PM|=|PO|，且使|PM|最小的点P，至少有一点在OC上
设P(x,y)
∵圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0==>(x+1)^2+(y-2)^2=2
OC方程y=-2x
设|PM|=|PO|=m
|PM|^2+2=(|OC|-|PO|)^2
即m^2+2=(√5-m)^2,解得m=3√5/10
则x^2+y^2=9/20==>5x^2=9/20==>x1=-3/10,x2=3/10(舍)
则P(-3/10,3/5)

回答补充提问：
圆外一点，到圆的切线有二条，且一点到二切点的距离相等，要使这个距离与｜PO｜相等，则二切点与原点O必共圆，而点P的位置不同，使得这个圆的半径就不同，哪一条半径最小呢？一定是二切点与原点成等边三角形的圆半径，由此满足|PM|=|PO|，且使|PM|最小的点P，不是至少而应该是一定在OC上。

Answer 2

设PM=PO=x
PC=sqrt(x^2+2)
CO=sqrt(5)
PC+PO>=CO （三角形）
sqrt(x^2+2)+x>=sqrt(5)
x移项，再平方可得
x^2+2>=x^2-2x倍根号5+5
x>=3/10倍根号5
取最小值是P在CO上
坐标为（3/10，3/5）

PC+PO>=CO 这个式子取等的时候就是点P在CO上，
P不在CO上就成三角形了PC+PO>CO

Answer 3

他你思路很清晰，可见数学功底还是很好的，我就简单说一下吧。
第二个条件|PM|=|PO|，可以等效为OM和PN（N为OM的中点）两个向量垂直。这样应该可以简化不少计算的

Answer 4

方法是有点麻烦，好的办法也没想到，可是觉得你最后求解点P的做法不太对
应该是圆点O向P点轨迹做的垂线吧，用点到直线去求，OC不一定垂直于P点轨迹吧