Question

高数问题，题目在图片上，求解答。

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Answer 1

按照图片顺序。
1、特征方程是r^4-2r^3+5r^2=0，根是0,0,1±2i，对应的四个线性无关的特解是1，x，e^xcos2x，e^xsin2x，通解是y=C1+C2x+e^x(C3cos2x+C4sin2x)。
2、z=e^tcost+sint，dz/dt=e^t(cost-sint)+cost。
3、z对x的偏导数是x，对y的偏导数是y，所以dS=√(1+x^2+y^2)dxdy。曲面在xoy面上的投影区域是x^2+y^2≤1。所以面积A=∫∫√(1+x^2+y^2)dxdy=∫(0到2π)dθ∫(0到1) √(1+ρ^2)ρdρ=2(2√2-1)π/3。
4、P=y^2+ye^x，Q=2xy+e^x，αP/αy=αQ/αx=2y+e^x，所以(y^2+ye^x)dx+(2xy+e^x)dy在xoy面内是某函数的全微分。
(y^2+ye^x)dx+(2xy+e^x)dy＝(y^2dx+2xydy)+(ye^xdx+e^xdy)＝(y^2dx+xdy^2)+(yde^x+e^xdy)＝d(xy^2+ye^x)，所以u(x,y)=xy^2+ye^x。
5、由平面方程得x+2y+2z=2，所以I=∫∫2dS。平面的方程是z=1-x/2-y，所以dS=√(1+(-1/2)^2+(-1)^2)dxdy=3/2dxdy。∑在xoy面上的投影区域D由坐标轴与x/2+y=1围成。
所以，I=2×3/2∫∫dxdy=3×1/2×2×1=3。