怎样求根号1+x平方分之2+x平方分之1?
根号(1+x平方)的积分的解法:
令x=tanα,则:√(1+x^2)=√[1+(tanα)^2]=1/cosα, dx=[1/(cosα)^2]dα。
sinα=√{(sinα)^2/[(sinα)^2+(cosα)^2]}=√{(tanα)^2/[1+(tanα)^2}
=x/√(1+x^2),
∴原式=∫{(1/cosα)[1/(cosα)^2]}dα
=∫[cosα/(cosα)^4]dα
=∫{1/[1-(sinα)^2]^2}d(sinα)。
再令sinα=u,则:
原式=∫[1/(1-u^2)^2]du
=(1/4)∫[(1+u+1-u)^2/(1-u^2)^2]du
=(1/4)∫[(1+u)^2/(1-u^2)^2]du+(1/2)∫[(1-u^2)/(1-u^2)^2]du+(1/4)∫[(1-u)^2/(1-u^2)^2]du
=(1/4)∫[1/(1-u)^2]du+(1/2)∫[1/(1-u^2)]du+(1/4)∫[1/(1+u)^2]du
=-(1/4)∫[1/(1-u)^2]d(1-u)+(1/4)∫[(1+u+1-u)/(1-u^2)]du
+(1/4)∫[1/(1+u)^2]d(1+u)
=(1/4)[1/(1-u)]-(1/4)[1/(1+u)]+(1/4)∫[1/(1-u)]du
+(1/4)∫[1/(1+u)]du
=(1/4)[1/(1-sinα)]-(1/4)[1/(1+sinα)]
-(1/4)∫[1/(1-u)]d(1-u)+(1/4)∫[1/(1+u)]d(1+u)
=(1/4){1/[1-x/√(1+x^2)]}-(1/4){1/[1+x/√(1+x^2)]}
-(1/4)ln|1-u|+(1/4)ln|1+u|+C
=(1/4)[1+x/√(1+x^2)-1+x/√(1+x^2)]/[1-x^2/(1+x^2)]
+(1/4)ln|1+sinα|-(1/4)ln|1-sinα|+C
=(1/4)[2x/√(1+x^2)]/[(1+x^2-x^2)/(1+x^2)]
+(1/4)ln[|1+x/√(1+x^2)|/|1-x/√(1+x^2)|]+C
=(1/2)x√(1+x^2)+(1/4)ln|[√(1+x^2)+x]/[√(1+x^2)-x]|+C
=(1/2)x√(1+x^2)+(1/4)ln|[√(1+x^2)+x]^2/(1+x^2-x^2)|+C
=(1/2)x√(1+x^2)+(1/2)ln|x+√(1+x^2)|+C
扩展资料:
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出(参见条目“黎曼积分”)。黎曼的定义运用了极限的概念,把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起,更高级的积分定义逐渐出现,有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。
通常意义
积分都满足一些基本的性质。以下的 在黎曼积分意义上表示一个区间,在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。
线性
积分是线性的。如果一个函数f可积,那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积,那么它们的和与差也可积。
保号性
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积,并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零,那么它的勒贝格积分也大于等于零。
作为推论,如果两个 上的可积函数f和g相比,f(几乎)总是小于等于g,那么f的(勒贝格)积分也小于等于g的(勒贝格)积分。
参考资料:百度百科——积分