Question

已知z为复数,且z^2=z,Iz+1I=1,求复数z

Answer 1

设z＝cosA＋isinA,则：z^2＝cos2A＋isin2A.
∴依题意,有：cos2A＋isin2A＝cosA＋isinA,∴cos2A＝cosA、sin2A＝sinA,
∴1－2（sinA）^2＝cosA、2sinAcosA＝sinA.
由2sinAcosA＝sinA,得：sinA＝0,或cosA＝1/2.
一、将sinA＝0代入到1－2（sinA）^2＝cosA中,得：cosA＝1－2（sinA）^2＝1.
　　但这样一来,就有：｜z＋1｜＝｜cosA＋isinA＋1｜＝｜1＋0＋1｜＝2＞1.
　　与条件中的｜z＋1｜＝1矛盾.
　　∴这种情况应舍去.
二、将cosA＝1/2代入到1－2（sinA）^2＝cosA,得：1－2（sinA）^2＝1/2,
　　∴2（sinA）^2＝1－1/2＝1/2,∴（sinA）^2＝1/4.
　　但这样一来,就有：（cosA）^2＋（sinA）^2＝1/4＋1/4＝1/2＜1.
　　显然这是不合理的.
　　∴这种情况也应舍去.
综上一、二所述,得：满足条件的复数z是不存在的.
注：请认真核查原题,看是不是哪里写错了.　若是写错了,请补充说明.