Question

超难初中几何题（高人来）3

已知：任意三角形ABC中，分别以AB，AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形ABD，ACE，BCF
连接AF，DE

求证：AF=DE，AF⊥DE

Answer 1

设∠AED=β，∠CAF=α，BC=a,CA=b,AB=c,∠A=A，∠B=B，∠C=C。

正弦定理：AF/sin(C+45°)=FC/sinα , AF/sin(B+45°)=FB/sin(A-α),两式相比，得sin(A-α)/sinA=sin(B+45°)/sin(C+45°） （1）

再在△AEF中使用正弦定理： AE/sin(180°-90°-A-β)=AD/sinβ
又有 ： AE/AD=AC/AB=b/c=sinB/sinC

以上两式整理 得到 ：sinβ/cos(A+β)=sinC/sinB (2)

通过（1）（2）两式可以分别整理出 tanβ和tanα关于B、C的表达式
（A用180°-B-C带入）

再应用：tan(45°-α)=(1-tanα)/(1+tanα)
将tanα的表达式带入，发现与tanβ表达式相同
得出结论，tan(45°-α)=tanβ
∠AEF+∠CAD=45°
后面的就- -