Question

高分一题：实数证明题

首先声明：给出那么高的分数就说明已经在百度搜过了- -不要抄袭不要灌水
请用高二以前的内容来做，力求简洁明了。回答者可以适当分行。不用着急，可以慢慢写。我会逐个逐个回答慢慢阅读，请放心。

正题：设a b c是正实数 a+b+c=1 求实数K的范围 使得
不等式 k^2(ab+bc+ac)-kabc<=26/9 恒成立
最后一次提高悬赏，大家加油- -前面两人的答案尚未处理，我会每个人的答案都细细阅读的

Answer 1

分两步：
1.a=b=c=1/3时不等式化为
k^2-k/9-26/3<=0,
-26/9<=k<=3.
2.证明上述结论对任意满足a+b+c=1的正实数a,b,c都成立。不等式化为
k^2(ab+bc+ac)-kabc-26/9<=0,
k1<=k<=k2,这里
k1=[abc-√△]/[2(ab+bc+ac)],
k2=[abc+√△]/[2(ab+bc+ac)],
其中△=(abc)^2+104/9*(ab+bc+ac).
k1<=-26/9,
<==>abc+52/9*(ab+bc+ac)<=√△，平方得
（abc)^2+104/9*abc(ab+bc+ac)+2704/81*(ab+bc+ac)^2<=△，
化简得2abc+52/9*(ab+bc+ac)<=2,②
易知abc<=[(a+b+c)/3]^3=1/27,
ab+bc+ac<=(a+b+c)^2/3=1/3,
∴②成立。
k2>=3
<==>6(ab+bc+ac)-abc<=√△，
仿上，81（ab+bc+ac)-27abc<=26,③
齐次化：我们有恒等式
(ab+bc+ca)(a+b+c)-9abc
=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2,
2[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)]
=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2,
∴③化为3[(ab+bc+ca)(a+b+c)-9abc]
<=26[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)](a+b+c),
<==>3[a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2]
<=13[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2](a+b+c),
上式对正数a,b,c显然成立，∴③式成立。
综上，k1<=-26/9,k2>=3恒成立。
∴实数k的取值范围是[-26/9,3].

Answer 2

【解】：记：f(k)=k^2(ab+bc+ca)-kabc
ab+bc+ca>0,，二次函数f(k)开口向上，
要求k的最小范围使得：k^2(ab+bc+ca)-kabc≤26/9成立；
那么要求a、b、c得取值使得二次函数图像开口最小，就是斜率的绝对值最大，即导数绝对值最大；

由f(k)’=2(ab+bc+ca)k-abc (根据二次函数对称性，只需考虑斜率为正的情况)
记：S=2(ab+bc+ca)-abc=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)-abc=1-(a^2+b^2+c^2)-abc
abc≤1/27；ab+bc+ac≤1/3；当且仅当a=b=c=1/3时，等号同时成立；
所以当a=b=c=1/3时，S=S[max]=1-1/27-1/3
此时函数f(k)开口最小（同一k对应的导数绝对值最大；斜率绝对值最大）
要求此时f(k)=k^2/3-k/27≤26/9，
得：9k^2-k-78≤0
得：-26/9≤k≤3

[附]：
∵a+b+c=1≥3(abc)^1/3，∴abc≤1/27；
∵a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac；
∴1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)≥3(ab+bc+ac)；
∴ab+bc+ac≤1/3；

Answer 3

【证明】
不妨设a≥b≥c,则a+b≥2/3,c≤1/3,可令a+b=2/3+x,c=1/3-x(0≤x≤1/3)，则
k^2*(ab+bc+ac)-k*abc=k^2*[c*(a+b)]+ab*(k^2-kc)
≤k^2*[c(a+b)]+1/4*(a+b)^2*(k^2-kc)
=k^2*(1/3-x)(2/3+x)+1/4*(2/3+x)^2*[k^2-k*(1/3-x)]
=k^2*(2/9-1/3*x-x^2)+1/4*(4/9+4/3*x+x^2)*(k^2-1/3*k+kx)
=-k^2*x^2-1/3*k^2*x+2/9*k^2+(1/4*x^2+1/3*x+1/9)*(kx+k^2-1/3*k)
=-k^2*x^2-1/3*k^2*x+2/9*k^2+1/4*k*x^3+1/4*k^2*x^2-1/12*k*x^2+1/3*k*x^2+1/3*k^2*x-1/9*k*x+1/9*k*x+1/9*k^2-1/27*k
=1/4*kx^3+(-3/4*k^2+1/4*k)x^2+2/9*k^2-1/27*k
=(6k^2-k)/27-(3*k^2-k)/4*x^2+k/4*x^3
=(6k^2-k)/27-1/4*x^2*(3k^2-k-x)
<=(6k^2-k)/27<=26/9

所以(6k^2-k)/27<=26/9且3k^2-k>=x
即6k^2-k-78<=0且3k^2-k-1/3>=0
即(1-√1873)/12<=k<=(1+√1873)/12且k<=(1-√5)/6或k>=(1+√5)/6
所以(1-√1873)/12<=k<=(1-√5)/6或(1+√5)/6<=x<=(1+√1873)/12

Answer 4

我只是用初中方法阿
高中的不会
首先，记y=(ab+bc+ca)k^2-abck-26/9
易知此二次函数开口向上
在a,b,c取不同的值时
此函数图像也会略微变化
经过尝试发现，在a=b=c=1/3时
此函数与x轴交点为（-26/9，0）与（3，0）
间隔最短
作图可知，在a，b，c取其他值时，与x负半轴交点在（-26/9，0）的左边
与x正半轴交点在（3，0）右边
所以我们只需要证明y(-26/9)<=0，y(3)<=0即可得到答案
于是
（1）y(-26/9)=2704/81(ab+bc+ca)+26/9abc-26/9
固定c，于是ab+bc+ca=ab+c-c^2<=(a+b)^2/4-c^2+c
由a+b=1-c得到
abbc+ca<=-3/4(c-1/3)^2+1/3
等号在^2a=b=c=1/3时取得
又因为abc的最大值也在a=b=c=1/3时取得
所以y(-26/9)
=2704/81(ab+bc+ca)+26/9abc-26/9
<=2704/81*1/3+26/9*27/1-26/9
=26/9-26/9=0
所以y(-26/9)<=0
（2）y(3)=9(ab+bc+ca)-3abc-26/9
固定c，整理发现在a=b时取到极大值
再整理，分解因式(懒得写了)，得到
y(3)<=-3/4(c-1/3)^2(c+23/3)<=0
等号在a=b=c=1/3时取得
所以得到y(3)<=0
综上所述
k的取值范围是-26/9<=k<=3

方法略显繁琐
不奢望采纳
别砸我鸡蛋就行

Answer 5

竞赛题吧，我当年会做来着，现在早忘了