施密特正交化公式
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2023-05-18
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施密特正交化是一种线性代数的计算方法,它能将一组线性无关的向量集合正交化为一组标准正交向量集合。施密特正交化公式如下:设$V=\\{v_1,v_2,\\cdots,v_n\\}$是线性无关的向量集合,令$U=\\{u_1,u_2,\\cdots,u_n\\}$是$V$的正交基,其中$u_1,v_2,\\cdots,u_{k-1}$均已确定,继续寻找$u_k$,则:$$ u_k = v_k - \\sum_{i=1}^{k-1}{\\frac{\\langle v_k , u_i \\rangle}{\\langle u_i , u_i \\rangle}u_i} $$其中,$\\langle v_k , u_i \\rangle$是向量$v_k$和$u_i$的内积,$\\langle u_i , u_i \\rangle$是向量$u_i$的长度平方。通过不断迭代,可以得到一组标准正交向量集合。注:内积这里指的是欧几里得空间中的内积。
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