Question

如何用拉格朗日中值定理证明:arctanx+arccotx=2分之派？

Answer 1

这里需要一个定理 如果函数f(x)在区间 I 上的导数恒为0，那么f(x)在区间 I 上是一个常数

证明如下
设 f(x)=arctanx+arccotx
对其求导 f`(x) = 1/(1+x^2)-1/(1+x^2)=0
所以f(x)=C C为一个常数
不妨设 x=1/2 f(1/2)= π/4+π/4=π/2
即 f(x)=π/2
证毕。