Question

请教一个数学题

已知X、Y、Z为非负实数，且X+Y+Z=30,3X+Y-Z=50,求U=5X+4Y+2Z的最大值和最小值。

Answer 1

解：由X+Y+Z=30,得Z=30-X-Y
将其代入3X+Y-Z=50,得3x+y-（30-x-y）=50
化简得y=40-2x
所以z=x-10
所以U=5x+4（40-2x）+2（x-100
化简得U=140-x
因为x、y、z都为非负实数
所以y≥0，z≥0
所以40-2x≥0
x-10≥0
所以 10≤x≤20
所以 120≤U≤130
所以 U最大为130，最小为120.

Answer 2

x+y+z=30(一式)。一式*3=3x+3y+3z=90(二式)。二式减3x+y-z=50可得出2y+4z=40。所以y+2z=20。所以y=20-2z。所以把y=20-2z代入3x+y-z=50可得：x-z=10，所以x=10+z。所以U=5（10+z）+4（20-2z）+2z=130-z。
又因为xyz均为非负实数。所以x=10+z》0
y=20-2z》0
z》0
即0《z《10
所以U=130-z中U的取值是120《U《130
所以最小值是120，最大值是130

Answer 3

X+Y+Z=30,3X+Y-Z=50
2x+2y+2z=60
2x+2y+2z+3x+y-z=50+60
5x+3y+z=110
所以5x+4y+2z=110+y+z
所以z+y最大u最大
z+y最小u最小
x+yzuixiao为0，最大为30
所以u在110和140

Answer 4

已知x，y，z为非负实数，且满足
x+y+z=30，3x+y-z=50．
求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．
解 将已知的两个等式联立成方程组
x+y+z=30……①
3X+Y-Z=50……②
所以①+②得
4x+2y=80，y=40-2x．
将y=40-2x代入①可解得
z=x-10．
因为y，z均为非负实数，所以

解得 10≤x≤20．
于是
u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140．
当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大．故当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．

Answer 5

看到上面的等式和要求的式子其实会有感觉的：
U=5X+4Y+2Z=3*(X+Y+Z)+(3X+Y-Z)-X=3*30+50-X=140-X ;

现在就是求X的最大最小值了；

用已知的二式减一式，得X-Z=10 ,即 X=Z+10 ；
又Z为非负实数，故X >= 10 ；又 X=10时，Y=20，Z=0 ，符合题目条件；故X的最小值为10，
*从而U=5X+4Y+2Z 的最大值为 140-10 =130 ；
将之前得到的X=Z+10 代入 X+Y+Z=30 得 Y+2Z =20 ；又Y >= 0 ,故20-2Z>=0，即Z<=10 ，则 X=Z+10 <= 20 ,又X=20时，Y=0 ，Z=10 ，符合题目条件；故X的最大值为20，
*从而U=5X+4Y+2Z 的最小值为140-20 =120 ；

其实这种方法最关键的要对所求式进行合理的拆分，这个题目是比较简单的情况，一眼就能看出来的；我再想想有没有其他办法，有的话贴出来给你；

附：
求X的最小值时还可以如下：
将已知的两个式子变下形：
Y+Z=30-X ；Y-Z=50-3X ；
而Z为非负实数，故Y+Z>= Y-Z ；即30-X >= 50-3X ；得X >=10 ；
故X的最小值为10，此时Y=20，Z=0 ；
*从而U=5X+4Y+2Z 的最大值为 140-10 =130 ；