Question

设x=t-ln（1+t2）,y=arctant.求dy/dx//

Answer 1

先求dx/dt,dy/dt,之后由后者比上前者,就可得到dy/dx
对等式：x=t-ln(1+t^2) 两侧同时求t的导数：
dx/dt=[t-ln(1+t^2)]'
=1-2t/(1+t^2)
=(1+t^2-2t)/(1+t^2)
对等式：y=arctant 两侧同时求t的导数：
dy/dt=(arctant)'
=1/(1+t^2)
∴dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=[1/(1+t^2)]/[(1+t^2-2t)/(1+t^2)]
=1/(1+t^2-2t)=1/(t-1)^2
请注意,dy/dx并不一定必须只含x项,由已知,可知x是t的函数,意味着完全可以用x来表示t,两者之间存在确定的函数关系,上式中,dy/dx 的表达式中只含有t,而t一定可以由x确定,这不过这个关系不好用直接的方式表示出来,故用t直接表示x也是没问题的,考试时这样写也没问题!