Question

函数展开为什么可以用傅里叶级数？

Answer 1

函数展开成正弦级数或余弦级数中有时需要把定义在[0，π]或[-π，0]上的函数f（x）展开成正弦级数或余弦级数，为此，可在（-π，0）或（0，π）上补充f（x）的定义，若有必要，可改变f（x）在点x=0的定义，如果使之成为奇函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为奇延拓；如果使之成为偶函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为偶延拓。根据以上讨论，拓广后的函数的傅里叶展开式是正弦或余弦级数，限制x在f（x）原定义区间上即得函数f（x）在[0，π]或[-π，0]上的正弦或余弦级数。

在实际应用中，有时还需要把定义在区间[0,π]的函数f(x)展开成正弦级数或余弦级数. 这个问题可按如下方法解决。

设函数f(x)定义在区间[0,π]上且满足狄利克雷收敛定理的条件. 我们先要把函数f(x)的定义延拓到区间(-π,0]上，得到定义在(-π,π]上的函数F(x)，根据实际的需要，常采用以下两种延拓方式：

1.奇延拓  令F(x)={cf(x),&0<x\le\pi}\\{0,}&{x=0}\\{-f(-x),}&{-\pi<x<0}\\\end{array}\right.$< span="">，则F(x)是定义在(-π,π]上的奇函数，将F(x)在(-π,π]上展开成傅里叶级数，所得级数必是正弦级数. 再限制x在(0,π]上，就得到f(x)的正弦级数展开式。

2.偶延拓  令F(x)={cf(x),&0≤x≤π&f(-x),&-π<x<0}\\\end{array}\right.$< span="">，则F(x)是定义在(-π,π]上的偶函数，将F(x)在(-π,π]上展开成傅里叶级数，所得级数必是余弦级数. 再限制x在(0,π]上，就得到f(x)的余弦级数展开式。