Question

3.求出曲线 x=t^3, y=t^2 ,z=t 上的点,使在该点的切线平行于平面x+2y+z=6

Answer 1

曲线的导数为
dx/dt=3t^2
dy/dt=2t
dz/dt=1
在该点的切向量为 (3t^2, 2t, 1)
由于切线平行于平面 x+2y+z=6，所以切向量与该平面的法向量垂直，即
3t^2+4t+1=0
解得 t=-1 和 t=-1/3
当 t=-1 时，点为 (-1,1,1)
当 t=-1/3 时，点为 (-1/27,1/9,1/3)
所以，曲线上的点为 (-1,1,1) 和 (-1/27,1/9,1/3)。

Answer 2

x=t^3, y=t^2 ,z=t
x‘=3t^2
y‘=2t
z‘=1
x+2y+z=6的法向量为（1，2，1），而在该点的切线平行于平面x+2y+z=6
那么（3t^2，2t，1）*（1，2，1）=0
解得：t=-1or t=-1/3
所以该点为 (-1,1,-1) 和 (-1/27,1/9,-1/3)