Question

定积分∫-1到1 1+x^2/sin+x+dx？

Answer 1

要计算这个定积分，我们可以使用换元法和分部积分法。
首先，我们进行换元，令 t = tan(x/2)，则有：
sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2) = 2·2t/(1+t^2)·(1-t^2/(1+t^2)) = 4t/(1+t^2)
cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)
x^2 = 4·t^2/(1+t^2)
因此，原式可以表示为：
∫(-1到1) 1 + x^2/sin(x) + dx = ∫(-π/2到π/2) (1 + 16t^2/(1+t^2)^2) dt
接下来，我们使用分部积分法。令 u = 1，dv = (1 + 16t^2/(1+t^2)^2) dt，则有：
du/dt = 0，v = t + 4·(t/(1+t^2))
因此，原式可以表示为：
∫(-π/2到π/2) (1 + 16t^2/(1+t^2)^2) dt = [t + 4·(t/(1+t^2))] (-π/2到π/2) - ∫(-π/2到π/2) 4/(1+t^2) dt
对于右侧的积分，我们可以使用反正切函数的定义进行计算，得到：
∫(-π/2到π/2) 4/(1+t^2) dt = 4[arctan(t)] (-π/2到π/2) = 2π
因此，原式的值为：
[t + 4·(t/(1+t^2))] (-π/2到π/2) - 2π = 2π
因此，原式的值为 2π。

Answer 2

∫<-1到1> [(1+x^2)/sinx] dx = 0
积分函数 (1+x^2)/sinx 是奇函数， 在对称区间积分为 0.