Question

高一数学题！求解！

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，不等式f(x)＞-x的解集为（1，2），若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。

请给出详细解答！谢谢各位啦！

Answer 1

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，不等式f(x)＞-x的解集为（1，2），若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。

a只要可以满足题目的限制条件即可。设f（x）=ax^2+bx+c
不等式f(x)＞-x的解集为（1，2）→可以知道f（x）+x＞0，左边可视为一个新函数：ax^2+(b+1）x+c＞0，并且可以由解集知道该新函数的两个根是1和2，用韦达定理得出b，c用a的表达式，最后题目中的一个条件：若f(x)的最大值为正数，利用4ac-b^2/4a＞0，即可解出a的取值范围，提供一个思路吧o(∩_∩)o 希望有帮助

Answer 2

解：设f（-x）= ax²+bx+c
∵ f(x)＞-x
∴ ax²+bx+c＞-x
ax²+（b+1）x+c＞0
∵解集为（1，2）
∴a为负数，函数开口方向向下
且 1+2=-（b+1）/a
1×2= c/a
即b+1=-3a，c=2a
∵f(x)的最大值为正数
∴ 4ac-（b+1）²
--------------- ＞ 0
4a
代人得
4a·2a-（-3a）²
------------------ ＞ 0
4a
解得
a＜0