高等数学题一道

f(x)g(x)在[a,b]上可导,且f'(x)g(x)不等于f(x)g'(x)。证明:介于f(x)两个零点x1、x2之间有g(x)的一个零点。其中x1、x2均在(a,b... f(x) g(x)在[a,b]上可导,且f'(x)g(x)不等于f(x)g'(x)。证明:介于f(x)两个零点x1、x2之间有g(x)的一个零点。其中x1、x2均在(a,b)内。 展开
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2010-08-19 · 超过26用户采纳过TA的回答
知道答主
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【证】反证法:假设在介于f(x)两个零点x1、x2之间没有g(x)的一个零点
令F(x)=f(x)/g(x),则显然在[x1,x2]内g(x)不等于0. 且有:
1)在闭区间[x1,x2]上连续;
2)在开区间(x1,x2)内导;
3)F(x1)=F(x2)=0
由罗尔定理可知,在区间(x1,x2)内至少存在一点ξ(x1<ξ<x2),使得 F'(ξ)=0,即:F'(ξ)=[f'(ξ)g(ξ)-f(ξ)g'(ξ)]/[g(ξ)]^2=0由此可得f'(ξ)g(ξ)=f(ξ)g'(ξ),与已知在[a,b]上f'(x)g(x)不等于f(x)g'(x)矛盾。所以假设不成立,也就是原命题得证,介于f(x)两个零点x1、x2之间有g(x)的一个零点。其中x1、x2均在(a,b)内。 【证毕】

思路:1)由于题目给条件是两端点的情况,所以可以考虑使用罗尔定理
2)题设中给出的条件式子是f'(x)g(x)与f(x)g'(x),由这连个式子,自然应该联想到了[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2这样的一个关系式
3)通过题设条件的f'(x)g(x)不等于f(x)g'(x)与2)中的式子,可以想到使用反证来证明此题。
数论_高数
2010-08-19 · TA获得超过4847个赞
知道大有可为答主
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如果g(x)在[x1,x2]没有零点,那么F(x)=f(x)/g(x)在[x1,x2]连续,在(x1,x2)可导,且F(x1)=F(x2)=0,根据罗尔定理,在(x1,x2)内有一点ξ使得F'(ξ)=[f'(ξ)g(ξ)-f(ξ)g'(ξ)]/[g(ξ)]^2=0,于是f'(ξ)g(ξ)=f(ξ)g'(ξ),这与在[a,b]上f'(x)g(x)不等于f(x)g'(x)矛盾。
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半岛打铁盒
2010-08-19 · TA获得超过507个赞
知道小有建树答主
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好难 不会啊。。。
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