Question

不定积分xdx/根号下x^2±a^2 推导？

给出详细推导过程，感谢！！！

Answer 1

首先，我们可以将被积函数写成以下形式：

x / √(x^2 ± a^2)

接着，令 u = x^2 ± a^2，那么 du/dx = 2x。可以得到以下公式：

x dx = (1/2)du

将 x 和 dx 用 u 和 du 表示，可以改写原积分：

∫ x dx / √(x^2±a^2) = (1/2) ∫ du / √u

接着，我们要考虑 √u 的积分，这里可以用反三角函数求解。令 v = u^(1/2)，那么 dv / du = 1/(2√u)，所以 du = 4v^2dv。

因此，积分可以改写为：

(1/2) ∫ 4v^2dv / v = 2∫v dv = 2(v^2/2) + C

代入 u = x^2 ± a^2 和 v = √(x^2 ± a^2)，可以得到最终的结果：

∫ x dx / √(x^2±a^2) = √(x^2±a^2) + C

其中 C 是任意常数。

Answer 2

∫xdx/√(x^2+a^2) = (1/2)∫d(x^2+a^2)/√(x^2+a^2)
= (1/2)∫(x^2+a^2)^(-1/2)d(x^2+a^2)
= (1/2) · 2√(x^2+a^2) + C = √(x^2+a^2) + C