Question

根号1+ x^2的不定积分怎么求？

Answer 1

根号1+x^2的不定积分是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C。

x=sinθ，dx=cosθdθ

∫√(1-x²)dx=∫√(1-sin²θ)(cosθdθ)=∫cos²θdθ

=∫(1+cos2θ)/2dθ=θ/2+(sin2θ)/4+C

=(arcsinx)/2+(sinθcosθ)/2+C

=(arcsinx)/2+(x√(1-x²))/2+C

=(1/2)[arcsinx+x√(1-x²)]+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

令 x = tanu， 则 dx = (secu)^2du
I = ∫√(1+x^2)dx = ∫(secu)^3du = ∫secudtanu
= secutanu - ∫secu(tanu)^2du = secutanu - ∫secu[(secu)^2-1]du
= secutanu - I + ln|secu+tanu|
I = (1/2)[secutanu + ln|secu+tanu|] + C
= (1/2)[x√(1+x^2) + ln|x+√(1+x^2)|] + C