Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x+3/2)-f(x)=0,且函数y=f(x-3/4)为奇函数,给出下列命题:1.函数f(x)的周期为3/2;

定义在R上的函数f(x)满足f(x+3/2)-f(x)=0,且函数y=f(x-3/4)为奇函数,给出下列命题:
1.函数f(x)的周期为3/2;
2.函数y=f(x)的图像关于点P(-3/4,0)对称;
3.函数y=f(x)的图像关于y轴对称;
求正确的命题是()
写出正确的命题的证明 还有不正确的命题为什么不正确

Answer 1

你们周期怎么理解的，可能书本不同吧。那周期自己看着办。
y=sin(8*3.14*t/3)直接秒杀1和3，举出反例就能说明不成立。其实f(x+3/2)-f(x)=0只能说明T=3/(2N) ,函数y=f(x-3/4)为奇函数只能说明函数y=f(x)的图像关于点P(3/4,0)对称。两者没直接关系的。得不出关于什么y=a轴对称的，它只能说明点对称。

函数y=f(x-3/4)为奇函数 得.函数y=f(x)的图像关于点P(3/4,0)对称
得f(3/4+x)=-f(3/4-x)
再根据f(x+3/2)-f(x)=0
得函数y=f(x)的图像关于点(3/4+3N/2,0)对称(N是整数）
再考虑到中点也是对称点（下面有证明），则y=f(x)的图像关于点(3/4+3N/4,0)对称(N是整数）
这样整个函数的轮廓其实已经出来了
即2是正确的。
证明如下
平移得f(3/4+(x-3/2))=f(3/4+x)=-f(3/4-x)=-f(3/4-(x+3/2))即
看到1，4项得f(-3/4+x)=-f(-3/4-x)则对称点为（（-3/4+x-3/4-x)/2，0）=（-3/4，0）
即2.函数y=f(x)的图像关于点P(-3/4,0)对称;
由1，3或2，4得对称点（0，0）即两对称点的中点也是对称点，（再中点就不一定了。）
如果题目换成 x=3/4处偶函数，那么函数关于x=3N/4轴对称，也只能得出轴对称，得不出点对称，证明类似

Answer 2

正确的命题是 12

理由

1 因为x∈R，由f(x+3/2)-f(x)=0得f(x)=f(x+3/2)
则f(x)每次平移3/2个单位都与原图像重合，故f(x)的周期为3/2；

2 由已知y=f(x-3/4)为奇函数，得f(-x-3/4)=-f(x-3/4)…①
令t=x-3/4，t∈R 即x=t+3/4 代入①得f(-t-3/2)=-f(t）
而f(x)的周期为3/2，所以f(-t)=-f(t),
故f(t)为奇函数，关于（0,0）对称。
所以函数y=f(x)的图像关于点(3/4,0)对称。
而f(x)的周期为3/2，
所以函数y=f(x)的图像关于点P(-3/4,0)对称

3 不能判断是否关于y轴对称（偶函数）。故认为不正确。
如y=f(x)=tan(2πx/3)则是奇函数。
y=f(x)=cos(4πx/3)则是偶函数。
他们同时满足题干条件。

Answer 3

正确命题为1和2
f(x+3/2)=f(x) 说明每增加3/2，函数值保持不变，即3/2为函数周期
f(x-3/4)为奇函数 通过向左平移3/4个单位得到原来f(x)的图像 关于(-3/4，0)对称

Answer 4

fdsafd