Question

已知（2x－1/mx－1）的6次方的展开式中的x的3次方的系数为－40则m＝？

Answer 1

(2x - 1/mx - 1)^6 的展开式中，x^3 的系数为：
C(6, 2) * (2x)^2 * (-1/mx - 1)^4
其中 C(6, 2) 表示从 6 个元素中选取 2 个元素的组合数，计算公式为 C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)，其中 n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
代入计算得：
C(6, 2) = 6! / (2! * 4!) = 15
(2x)^2 = 4x^2
(-1/mx - 1)^4 = 1/(mx + 1)^4
因此，x^3 的系数为：
-40 = 15 * 4x^2 * 1/(mx+1)^4
化简可得：
-10 = 3x^2 / (mx + 1)^4
移项得：
x^2 = -10m(mx + 1)^4 / 3
由于 x^2 是一个已知值，我们可以根据此式解出 m 的值。因为这道题中只给出了 x^3 的系数，所以还需要再次对上述式子进行求导，得到 x^2 对 m 的一阶导数：
d(x^2)/dm = -10(mx + 1)^4 / 3
即：
2x^2 dx/dm = -10(mx + 1)^4 / 3
代入 x^2 = -10m(mx + 1)^4 / 3，得：
2(-10m(mx + 1)^4 / 3) dx/dm = -10(mx + 1)^4 / 3
化简得：
dx/dm = 1 / (-mx - 1)
因为题目要求 x^3 的系数为 -40，而 x^3 = x * x^2，因此我们需要计算出 x 和 x^2 的值。代入 x^2 = -10m(mx + 1)^4 / 3，得：
x^2 = -10m(mx+1)^4 / 3
因此，带入原方程的 x 值为：
x = sqrt(-10m(mx+1)^4 / 3)
带入 dx/dm 的式子，得：
dx/dm = -1 / (mx + 1) * sqrt(-30m(mx+1)^2)
将 x^3 的系数为 -40 代入 C(6, 2) * (2x)^2 * (-1/mx - 1)^4，得：
-40 = 15 * 4 * x^2 * (mx+1)^-4
化简得：
-160 = 60x^2 / (mx+1)^4
代入 x^2 = -10m(mx+1)^4 / 3，得：
-160 = -2000m(mx+1)^2 / 27(mx+1)^4
化简得：
(mx+1)^2 = 27/125
mx + 1 = ±3/5
当 mx+1 = 3/5 时，代入 dx/dm 的式子，得：
dx/dm = -1 / (3/5) * sqrt(-30m * 1/25) = -sqrt(-120m) / 3
代入 x^2 = -10m(mx+1)^4 / 3 和 x^3 = x * x^2，得：
x = sqrt(-10m*(3/5)^4 / 3) = sqrt(2/5)
x^2 = -10m*(3/5)^4 / 3 = 18/125
因此 x^3 = x * x^2 = sqrt(2/5) * 18/125
将 x^3 的系数为 -40 代入 C(6, 2) * (2x)^2 * (-1/mx - 1)^4，得到 m 的值：
-40 = 15 * 4 * (18/125) * (-2/5)^(4) / (3/5+1)^4
化简得：
-40 = -12 * 2^4 * 18 / 125m^2
解得：
m = -125 / 288
因此，当 m=-125/288 时，(2x - 1/mx - 1)^6 的展开式中 x^3 的系数为 -40。

Answer 2

本题需要运用二项式定理进行计算。首先，根据二项式定理，将（2x－1/mx－1）的6次方拆开展开。根据二项式定理，（a+b）的n次方可以展开为：

(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n

其中，C(n,i)表示从n个元素中选i个元素的组合数，通式为C(n,i) = n!/(i!*(n-i)!)。

展开（2x－1/mx－1）的6次方，可以得到：

(2x-1/mx-1)^6 = C(6,0)*(2x)^6 - C(6,1)*(2x)^5*(1/mx-1) + C(6,2)*(2x)^4*(1/mx-1)^2
- C(6,3)*(2x)^3*(1/mx-1)^3 + C(6,4)*(2x)^2*(1/mx-1)^4 - C(6,5)*(2x)*(1/mx-1)^5 + C(6,6)*(1/mx-1)^6

由于需要计算（2x－1/mx－1）的6次方的展开式中的x的3次方的系数，因此需要寻找展开式中x的3次方的项，即(-1/mx-1)^3 * (2x)^3。因此，需要使用二项式系数的排列组合知识来计算（-1/mx-1）的3次幂的展开式中$x^3$项的系数。根据组合数的定义可以得到C(3,0)=-1， C(3,1)=-3/m，C(3,2)=-3/m^2, C(3,3)=-1/m^3。

因此，得出：

(-1/m * 2x)^3 * C(6,3) = -8x^3C(6,3)/(m^3) = -40

解得，C(6,3) = -5。因此，

- C(6,3)*(2x)^3*(1/mx-1)^3 = -5 * (2x)^3 *((-1/m)^3) = -40

即可得到方程， m = -10。

因此，所求的m为-10。