Question

[1/(2n+1)-1]*x^2n的和函数？

Answer 1

这个无穷级数可以表示为：
∑[(1/(2n+1)-1)*x^(2n)]，其中n的下标从0开始，一直到正无穷。
我们需要对这个级数进行求和，可以用一些数学技巧，如下：
(1 / (2n+1) - 1) = -1 / (2n+1) + 1/(n+1) - 1/(n+1)
所以，原级数可以写成：
∑[-x^(2n) / (2n+1) + x^(2n) / (n+1) - x^(2n) / (n+1)]
再将其拆成三个无穷级数相加：
∑(-x^(2n) / (2n+1)) + ∑(x^(2n) / (n+1)) - ∑(x^(2n) / (n+1))
对这三个级数依次求和，可以得到：
(1) ∑(-x^(2n) / (2n+1)) = -x^2/1 + x^4/3 - x^6/5 + ...
(2) ∑(x^(2n) / (n+1)) = x^2/2 + x^4/4 + x^6/6 + ...
(3) ∑(x^(2n) / (n+1)) = x^2/2 + x^4/4 + x^6/6 + ...
将(1)，(2)，(3)的结果相加即得到原级数的和函数：
(-x^2/1 + x^4/3 - x^6/5 + ...) + (x^2/2 + x^4/4 + x^6/6 + ...) - (x^2/2 + x^4/4 + x^6/6 + ...) = -x^2/1 + (1/2)*x^2 = (-x^2+0.5x^2) = -0.5x^2
因此，∑[(1/(2n+1)-1)*x^(2n)]的和函数是 -0.5x^2。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示