
幂级数收敛域的求法?
1个回答
展开全部
首先,我们需要明确一下收敛域是什么意思。在这里,收敛域指的是在哪些取值范围内,幂级数(即$x$的$n$次方)可以收敛。
幂级数是一种特殊的无穷级数,形如:
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$
其中,$a_n$是一个常数系数,$x$是一个自变量。同时,我们可以知道:
$$x^n = e^{n\ln x}$$
因此,求$x$的$n$次方幂级数的收敛域,就可以转化为求$e^{n\ln x}$的收敛域。
接下来,我们分两种情况讨论:
当$x=0$时,显然幂级数只有一项$a_0$,因此收敛域为$\{0\}$。
当$x\neq0$时,我们可以对$e^{n\ln x}$进行分类讨论:
(1)当$x > 1$时,$\ln x > 0$,因此$n\ln x$是无穷大的,$e^{n\ln x}$一定发散,因此收敛域为$(-\infty,0]\cup[1,\infty)$。
(2)当$x < 1$时,$\ln x < 0$,同上,$e^{n\ln x}$一定发散,因此收敛域为$(-\infty,-1)\cup(0,1)$。
(3)当$x = 1$时,$e^{n\ln x} = e^0 = 1$,幂级数必收敛,因此收敛域为$x=1$。
综上所述,$x$的$n$次方幂级数的收敛域为$(-1,1]$。
幂级数是一种特殊的无穷级数,形如:
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$
其中,$a_n$是一个常数系数,$x$是一个自变量。同时,我们可以知道:
$$x^n = e^{n\ln x}$$
因此,求$x$的$n$次方幂级数的收敛域,就可以转化为求$e^{n\ln x}$的收敛域。
接下来,我们分两种情况讨论:
当$x=0$时,显然幂级数只有一项$a_0$,因此收敛域为$\{0\}$。
当$x\neq0$时,我们可以对$e^{n\ln x}$进行分类讨论:
(1)当$x > 1$时,$\ln x > 0$,因此$n\ln x$是无穷大的,$e^{n\ln x}$一定发散,因此收敛域为$(-\infty,0]\cup[1,\infty)$。
(2)当$x < 1$时,$\ln x < 0$,同上,$e^{n\ln x}$一定发散,因此收敛域为$(-\infty,-1)\cup(0,1)$。
(3)当$x = 1$时,$e^{n\ln x} = e^0 = 1$,幂级数必收敛,因此收敛域为$x=1$。
综上所述,$x$的$n$次方幂级数的收敛域为$(-1,1]$。

2023-08-01 广告
BG试验又称为G试验,是一种基于真菌细胞壁成分的血清学试验。BG试验检测的是真菌细胞壁中的葡聚糖成分。操作步骤如下:1. 左键单击【View】2. 左键单击【Residual Diagnostics】3. 左键单击【Series Corre...
点击进入详情页
本回答由厦门鲎试剂生物科技股份有限公司提供
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询