Question

急~~两道高中函数题

1.已知关于x的函数f(x)=x^2+2mx+m
（1）若函数f(x)没有零点，求实数m的取值范围
（2）当m=2时，求函数g(x)=f(x)/x在区间[1,2]上的最大值，并求出相应的x的值
2.已知函数f(x)=x+a/x+b(x＞0）其中a,b∈R
（1）讨论函数f(x)的单调性
（2）若对于任意的a∈[0.5,1]，不等式f(x)≤10在x∈[0.25,1]上恒成立，求b的取值范围
请大家写得详细点~~谢谢~~

Answer 1

解：∵函数f(x)=x^2+2mx+m，其图像为开口向上的抛物线
(1)若函数f(x)没有零点，即函数图像与X轴无交点
⊿＝4m^2-4m<0==>0<m<1
(2) 当m=2时，函数g(x)= (x^2+4x+2)/x (x≠0)
g(x)=x+4+2/x, g’(x)=1-2/x^2
令x^2-2=0==>x1=-√2,x2=√2
G”(x)=4/x^3==> g”(x1)=-4/(2√2)<0,函数g(x)取极大值g(-√2)=4-2√2
g”(x2)=4/(2√2)>0,函数g(x)取极小值g(√2)=4+2√2
g(1)=1+4+2＝7，g(2)=2+4+1＝7
∴函数g(x)=f(x)/x在区间[1,2]上的最大值为7；

解：∵函数f(x)=x+a/x+b(x＞0）其中a,b∈R
(1) 令f’(x)=1-a/x^2=0==>x1=-√a, x2=√a
F”(x)=2a/x^3
当a>0时，
F”(x1)=-2/√a<0 函数f(x)取极大值；F”(x2)=2/√a>0 函数f(x)取极小值；
又x＞0
∴x∈(0,√a)时，函数g(x)单调减，x∈(√a，+∞)时，函数g(x)单调增。
当a=0时，f(x)=x+b，显然，x∈(0，+∞)时，函数g(x)单调增。
当a<0时，f’(x)=1+|a|/x^2>0，x∈(0，+∞)时，函数g(x)单调增。
(2) 由（1）知，a∈[0.5,1]，函数f(x)在x=√a处取极小值f(√a)=2√a +b
当a=0.5时，f(x)=x+1/(2x)+b1
x∈[0.25,1]
f(0.25)=x+1/(2x)+b1=2.25+b1；f(√2/2)=√2+b1 (min)；f(1)=1+1/2+b1=1.5+b1
当a=1时，f(x)=x+1/x+b2
x∈[0.25,1]
f(0.25)=x+1/x+b2=4.25+b2；f(1)=2+b2 (min)；
∴对于任意的a∈[0.5,1]，函数f(x)在x∈[0.25,1]上最大为4.25+b2
若对于任意的a∈[0.5,1]，不等式f(x)≤10在x∈[0.25,1]上恒成立
则4.25+b2<=10==>0<=b<=5.75

Answer 2

哎··
1.（1）f(x)没有零点 等价于f(x)=0没有根·△=4m²-4m<0 0<m<1
(2) m=2 个 g(x) = x + 4 +2/x ≥ 4 + 2sqrt(2) 等号在x=2/x=sqrt(2)时成立 sqrt(2) 就是根号2
可以认为个 g(x)在[1，sqrt2)递减，(sqrt2,2]递增 （第2题有证明）
maxg(x)=max{g(1),g(2)}=7 x取值x=1,x=2均可

2.（1）分情况讨论
①a<0 f(x)=x+a/x+b 由于 x＞0，x↑时，x↑，1/x ↓，a<0,a/x↑，x + a/x↑，f(x)也单调递增
②a=0 f(x)递增
③a>0 这个只能用定义了
假设x1>x2>0,下面比较f(x1),f(x2) 的大小
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+a(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)(1-a/x1x2)
由前面的假设a>0,x1-x2>0 这个时候f(x1)-f(x2) 的大小取决于1 - a/x1x2的大小
实际上我们无法在x>0这个区间里一概而论的比较1 - a/x1x2的大小，因为情况不能确定，必须将x>0划分
x>sqrt(a) 时， x1x2>a ,所以 1-a/x1x2>0 f(x1)-f(x2)>0 此区间里f(x)↑
0<x<sqrt(a)时，x1x2<a,所以1-a/x1x2<0 f(x1)-f(x2)<0 此区间f(x)↓
所以a>0时，f(x)在（0，sqrt(a))↓，（sqrt(a),+∞）↓
(2) 这个就是找出f(x)的在x∈[0.25,1]的最大值了
由前面的分析 只要a>0而不论实际为多少，f(x)在 x∈[0.25,1]最大值不是f(0.25)就是f（1）
于是f(1)=1+a+b≤10
f(0.25)=0.25+4a+b≤10 同时成立，而且对于所有的a∈[0.5,1]都同时成立
那么我们选取a,使得，1+a+b 或者 0.25+4a+b尽可能的大，明显a=1时 0.25+4a+b=4.25+b 最大
于是4.25+b≤10， b≤5.75
回过头来说， b≤5.75 无论如何选取a∈[0.5,1], f(1)≤10且f(0.25)≤10，而对于f(x)x∈[0.25,1]而言,f(x)的最大值不是f(1)就是f(0.25)，那么b≤5.75 时,f(x)≤10恒成立·

Answer 3

解：1，（1）函数f(x)没有零点，故f（x）与x轴没有交点，即判别式⊿＜0
所以4m^2-4m＜0 得0＜m＜1
（2），m=2 f(x)=x^2+4x+2
则g(x)=x+4+2/x g′(x)=1-2/x^2≥0时 即√2≤x≤2 单调增
g′(x)=1-2/x^2≤0时 即1≤x≤√2 单调减
函数在 f（1）或f（2）处取得最大值
f（1）=f（2）=7
2，（1）f′(x)=（b-a)/（x+b）^2
①b≥a时 f′(x)≥0 f（x）单调增
②b≤a时 f′(x)≤0 f（x）单调减
（2）①b≥a时 f′(x)≥0 f（x）单调增
则f（x）的最大值为f（1）=（1+a）/（1+b）
不等式f(x)≤10在x∈[0.25,1]上恒成立，即f（1）≤10
（1+a）/（1+b）≤10 化简得（a-10b-9）/（1+b）≤0 显然恒成立
故b≥a时恒成立，即b≥1
②b≤a时 f′(x)≤0 f（x）单调减
则f（x）的最大值为f（0.25）=（0.25+a）/（0.25+b）
不等式f(x)≤10在x∈[0.25,1]上恒成立，即f（0.25）≤10
（0.25+a）/（0.25+b）≤10
化简得（a-10b-2.25）/（0.25+b）≤0
故 a-10b-2.25≤0 0.25+b＞0
或 a-10b-2.25≥0 0.25+b＜0
故b≤a时 0.5≥b≥-0.125或b＜-0.25