急~~两道高中函数题

1.已知关于x的函数f(x)=x^2+2mx+m(1)若函数f(x)没有零点,求实数m的取值范围(2)当m=2时,求函数g(x)=f(x)/x在区间[1,2]上的最大值,... 1.已知关于x的函数f(x)=x^2+2mx+m
(1)若函数f(x)没有零点,求实数m的取值范围
(2)当m=2时,求函数g(x)=f(x)/x在区间[1,2]上的最大值,并求出相应的x的值
2.已知函数f(x)=x+a/x+b(x>0)其中a,b∈R
(1)讨论函数f(x)的单调性
(2)若对于任意的a∈[0.5,1],不等式f(x)≤10在x∈[0.25,1]上恒成立,求b的取值范围
请大家写得详细点~~谢谢~~
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韩增民松
2010-08-19 · TA获得超过2.3万个赞
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解:∵函数f(x)=x^2+2mx+m,其图像为开口向上的抛物线
(1)若函数f(x)没有零点,即函数图像与X轴无交点
⊿=4m^2-4m<0==>0<m<1
(2) 当m=2时,函数g(x)= (x^2+4x+2)/x (x≠0)
g(x)=x+4+2/x, g’(x)=1-2/x^2
令x^2-2=0==>x1=-√2,x2=√2
G”(x)=4/x^3==> g”(x1)=-4/(2√2)<0,函数g(x)取极大值g(-√2)=4-2√2
g”(x2)=4/(2√2)>0,函数g(x)取极小值g(√2)=4+2√2
g(1)=1+4+2=7,g(2)=2+4+1=7
∴函数g(x)=f(x)/x在区间[1,2]上的最大值为7;

解:∵函数f(x)=x+a/x+b(x>0)其中a,b∈R
(1) 令f’(x)=1-a/x^2=0==>x1=-√a, x2=√a
F”(x)=2a/x^3
当a>0时,
F”(x1)=-2/√a<0 函数f(x)取极大值;F”(x2)=2/√a>0 函数f(x)取极小值;
又x>0
∴x∈(0,√a)时,函数g(x)单调减,x∈(√a,+∞)时,函数g(x)单调增。
当a=0时,f(x)=x+b,显然,x∈(0,+∞)时,函数g(x)单调增。
当a<0时,f’(x)=1+|a|/x^2>0,x∈(0,+∞)时,函数g(x)单调增。
(2) 由(1)知,a∈[0.5,1],函数f(x)在x=√a处取极小值f(√a)=2√a +b
当a=0.5时,f(x)=x+1/(2x)+b1
x∈[0.25,1]
f(0.25)=x+1/(2x)+b1=2.25+b1;f(√2/2)=√2+b1 (min);f(1)=1+1/2+b1=1.5+b1
当a=1时,f(x)=x+1/x+b2
x∈[0.25,1]
f(0.25)=x+1/x+b2=4.25+b2;f(1)=2+b2 (min);
∴对于任意的a∈[0.5,1],函数f(x)在x∈[0.25,1]上最大为4.25+b2
若对于任意的a∈[0.5,1],不等式f(x)≤10在x∈[0.25,1]上恒成立
则4.25+b2<=10==>0<=b<=5.75
花生窝窝头
2010-08-19 · TA获得超过805个赞
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哎··
1.(1)f(x)没有零点 等价于f(x)=0没有根·△=4m²-4m<0 0<m<1
(2) m=2 个 g(x) = x + 4 +2/x ≥ 4 + 2sqrt(2) 等号在x=2/x=sqrt(2)时成立 sqrt(2) 就是根号2
可以认为个 g(x)在[1,sqrt2)递减,(sqrt2,2]递增 (第2题有证明)
maxg(x)=max{g(1),g(2)}=7 x取值x=1,x=2均可

2.(1)分情况讨论
①a<0 f(x)=x+a/x+b 由于 x>0,x↑时,x↑,1/x ↓,a<0,a/x↑,x + a/x↑,f(x)也单调递增
②a=0 f(x)递增
③a>0 这个只能用定义了
假设x1>x2>0,下面比较f(x1),f(x2) 的大小
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+a(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)(1-a/x1x2)
由前面的假设a>0,x1-x2>0 这个时候f(x1)-f(x2) 的大小取决于1 - a/x1x2的大小
实际上我们无法在x>0这个区间里一概而论的比较1 - a/x1x2的大小,因为情况不能确定,必须将x>0划分
x>sqrt(a) 时, x1x2>a ,所以 1-a/x1x2>0 f(x1)-f(x2)>0 此区间里f(x)↑
0<x<sqrt(a)时,x1x2<a,所以1-a/x1x2<0 f(x1)-f(x2)<0 此区间f(x)↓
所以a>0时,f(x)在(0,sqrt(a))↓,(sqrt(a),+∞)↓
(2) 这个就是找出f(x)的在x∈[0.25,1]的最大值了
由前面的分析 只要a>0而不论实际为多少,f(x)在 x∈[0.25,1]最大值不是f(0.25)就是f(1)
于是f(1)=1+a+b≤10
f(0.25)=0.25+4a+b≤10 同时成立,而且对于所有的a∈[0.5,1]都同时成立
那么我们选取a,使得,1+a+b 或者 0.25+4a+b尽可能的大,明显a=1时 0.25+4a+b=4.25+b 最大
于是4.25+b≤10, b≤5.75
回过头来说, b≤5.75 无论如何选取a∈[0.5,1], f(1)≤10且f(0.25)≤10,而对于f(x)x∈[0.25,1]而言,f(x)的最大值不是f(1)就是f(0.25),那么b≤5.75 时,f(x)≤10恒成立·
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chenyuanyi08
2010-08-19 · TA获得超过1443个赞
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解:1,(1)函数f(x)没有零点,故f(x)与x轴没有交点,即判别式⊿<0
所以4m^2-4m<0 得0<m<1
(2),m=2 f(x)=x^2+4x+2
则g(x)=x+4+2/x g′(x)=1-2/x^2≥0时 即√2≤x≤2 单调增
g′(x)=1-2/x^2≤0时 即1≤x≤√2 单调减
函数在 f(1)或f(2)处取得最大值
f(1)=f(2)=7
2,(1)f′(x)=(b-a)/(x+b)^2
①b≥a时 f′(x)≥0 f(x)单调增
②b≤a时 f′(x)≤0 f(x)单调减
(2)①b≥a时 f′(x)≥0 f(x)单调增
则f(x)的最大值为f(1)=(1+a)/(1+b)
不等式f(x)≤10在x∈[0.25,1]上恒成立,即f(1)≤10
(1+a)/(1+b)≤10 化简得(a-10b-9)/(1+b)≤0 显然恒成立
故b≥a时恒成立,即b≥1
②b≤a时 f′(x)≤0 f(x)单调减
则f(x)的最大值为f(0.25)=(0.25+a)/(0.25+b)
不等式f(x)≤10在x∈[0.25,1]上恒成立,即f(0.25)≤10
(0.25+a)/(0.25+b)≤10
化简得(a-10b-2.25)/(0.25+b)≤0
故 a-10b-2.25≤0 0.25+b>0
或 a-10b-2.25≥0 0.25+b<0
故b≤a时 0.5≥b≥-0.125或b<-0.25
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