Question

根据函数极限的定义证明：函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限，右极限各自存在并且相等。

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Answer 1

设f(x0)=A, 必要性： 任意给定ε>0,由于f(x)在x0处极限为A，故存在δ>0，使得对于满足0<|x-x0|<δ的一切x都成立 |f(x)-A|<ε. 只要x0<x<x0+δ或x0-δ<x<x0成立，则必0<|x-x0|<δ,因而|f(x)-A|<ε.由左右极限的定义得左右极限相等且都为A. 充分性： 任意给定ε>0.由于左右极限相等且为A，存在正数δ1和δ2使得 x0<x<x0+δ1时|f(x)-A|<ε, x0-δ2<x<x0时|f(x)-A|<ε. 取δ=min(δ1,δ2)，则当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε,即f(x)在x0处极限为A. 由左右极限的定义和性质可得，若f(x)在x=x0时单侧极限不全或存在但不相等时，f(x)在x0处没有极限。