Question

一些微积分的题目，高等数学文科

Answer 1

1. ∫(x²-e^x)dx=(1/3)x³-e^x+C

2. ∫(x²+sec²x)dx=(1/3)x³+tanx+C

3. ∫[1/(2x-3)]dx=(1/2)∫[1/(2x-3)]d(2x-3)=(1/2)ln∣2x-3∣+C

4. ∫sin(x/2)dx=2∫sin(x/2)d(x/2)=-2cos(x/2)+C

5. ∫dx/(1+√x)；设√x=u，则x=u²，dx=2udu；

   于是原式=2∫udu/(1+u)=2∫[1-1/(1+u)]du=2[u-ln∣1+u∣+C=2[(√x)-ln(1+√x)]+C

6. ∫xe^(3x)dx=(1/3)∫xd[e^(3x)]=(1/3)[xe^(3x)-∫e^(3x)dx]=(1/3)e^(3x)-∫e^(3x)d(3x)

   =(1/3)e^(3x)-e^(3x)+C=-(2/3)e^(3x)+C

7. 【-2，-1】∫(1+2x)²dx=【-2，-1】(1/2)∫(1+2x)²d(1+2x)=(1/6)(1+2x)³【-2，-1】=-(1/6)+9/2=13/3

8. 【0，1/2】∫arcsinxdx=[xarcsinx+√(1-x²)]【0，1/2】=π/6+(√3/2)-1

9. 【0，1/4】∫xdx/√(1-2x)=【0，1/4】-∫xd√(1-2x)=-[x√(1-2x)-∫√(1-2x)dx]【0，1/4】

   =-[x√(1-2x)+(1/2)∫√(1-2x)d(1-2x)]【0，1/4】

   =-[x√(1-2x)+(1/3)x√(1-2x)+√(1-2x)³]【0，1/4】

   =-[1/(4√2)+1/(12√2)+1/(2√2)]+1=(12+5√2)/12

(一).求微分方程2xy+x²y'=(1-x)y的通解。

解：x²y'=y-3xy，即有(3xy-y)dx+x²dy=0...........(1)；

其中P=3xy-y，Q=x²；∂P/∂y=3x-1≠∂Q/∂x=2x，故原方程不是全微分方程。

但(1/Q)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/x²)(3x-1-2x)=(x-1)/x²=G(x)是x的函数，

故有积分因子μ(x)=e^∫G(x)dx=e^∫[(1/x)-(1/x²)]dx=e^(lnx+1/x)=xe^(1/x)；

将μ(x)乘(1)式两边得[(3xy-y)xe^(1/x)]dx+[x³e^(1/x)]dy=0..........(2)

此时P=(3xy-y)xe^(1/x)；Q=x³e^(1/x)；

∂P/∂y=(3x-1)xe^(1/x)=∂Q/∂x=3x²e^(1/x)-xe^(1/x)=(3x-1)xe^(1/x)；故(2)是全微分方程。

(2)的左边是函数u(x，y)=∫[(3xy-y)xe^(1/x)]dx=yx³e^(1/x)的全微分。因为：

du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=y[(3x²-x]e^(1/x)dx+x³e^(1/x)]dy=(2)式左边。

故隐函数 yx³e^(1/x)=C就是原方程的通解。

(二)求微分方程y''+2y'+y=e^(-x)的通解。

解：齐次方程y''+2y'+y=0的特征方程为r²+2r+1=(r+1)²=0，有重根r₁=r₂=-1；

故该齐次方程的通解为y=(C₁+C₂x)e^(-x)

下面再求一个特解y*；用待定系数法：设特解为y*=ax²e^(-x)

(y*)'=2axe^(-x)-ax²e^(-x)=(2ax-ax²)e^(-x)

(y*)''=(2a-2ax)e^(-x)-(2ax-ax²)e^(-x)=(2a-4ax+ax²)e^(-x)

代入原式得(2a-4ax+ax²)e^(-x)+2(2ax-ax²)e^(-x)+ax²e^(-x)=e^(-x)

消去e^(-x)得(2a-4ax+ax²)+4ax-2ax²+ax²=1

即有2a=1，故得a=1/2，即有特解为y*=(1/2)x²e^(-x)

故原方程的通解为：y=(C₁+C₂x)e^(-x)+(1/2)x²e^(-x)=[C₁+C₂x+(1/2)x²]e^(-x)

Answer 2

∫(x²-e^x)dx=(1/3)x³-e^x+C
∫(x²+sec²x)dx=(1/3)x³+tanx+C
∫[1/(2x-3)]dx=(1/2)∫[1/(2x-3)]d(2x-3)=(1/2)ln∣2x-3∣+C
∫sin(x/2)dx=2∫sin(x/2)d(x/2)=-2cos(x/2)+C
∫dx/(1+√x)；设√x=u，则x=u²，dx=2udu；
于是原式=2∫udu/(1+u)=2∫[1-1/(1+u)]du=2[u-ln∣1+u∣+C=2[(√x)-ln(1+√x)]+C
∫xe^(3x)dx=(1/3)∫xd[e^(3x)]=(1/3)[xe^(3x)-∫e^(3x)dx]=(1/3)e^(3x)-∫e^(3x)d(3x)
=(1/3)e^(3x)-e^(3x)+C=-(2/3)e^(3x)+C
【-2，-1】∫(1+2x)²dx=【-2，-1】(1/2)∫(1+2x)²d(1+2x)=(1/6)(1+2x)³【-2，-1】=-(1/6)+9/2=13/3
【0，1/2】∫arcsinxdx=[xarcsinx+√(1-x²)]【0，1/2】=π/6+(√3/2)-1
【0，1/4】∫xdx/√(1-2x)=【0，1/4】-∫xd√(1-2x)=-[x√(1-2x)-∫√(1-2x)dx]【0，1/4】
=-[x√(1-2x)+(1/2)∫√(1-2x)d(1-2x)]【0，1/4】
=-[x√(1-2x)+(1/3)x√(1-2x)+√(1-2x)³]【0，1/4】
=-[1/(4√2)+1/(12√2)+1/(2√2)]+1=(12+5√2)/12
(一).求微分方程2xy+x²y'=(1-x)y的通解。
x²y'=y-3xy，即有(3xy-y)dx+x²dy=0...........(1)；
其中P=3xy-y，Q=x²；∂P/∂y=3x-1≠∂Q/∂x=2x，故原方程不是全微分方程。
但(1/Q)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/x²)(3x-1-2x)=(x-1)/x²=G(x)是x的函数，
故有积分因子μ(x)=e^∫G(x)dx=e^∫[(1/x)-(1/x²)]dx=e^(lnx+1/x)=xe^(1/x)；
将μ(x)乘(1)式两边得[(3xy-y)xe^(1/x)]dx+[x³e^(1/x)]dy=0..........(2)
此时P=(3xy-y)xe^(1/x)；Q=x³e^(1/x)；
∂P/∂y=(3x-1)xe^(1/x)=∂Q/∂x=3x²e^(1/x)-xe^(1/x)=(3x-1)xe^(1/x)；故(2)是全微分方程。
(2)的左边是函数u(x，y)=∫[(3xy-y)xe^(1/x)]dx=yx³e^(1/x)的全微分。因为：
du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=y[(3x²-x]e^(1/x)dx+x³e^(1/x)]dy=(2)式左边。
故隐函数 yx³e^(1/x)=C就是原方程的通解。
(二)求微分方程y''+2y'+y=e^(-x)的通解。
齐次方程y''+2y'+y=0的特征方程为r²+2r+1=(r+1)²=0，有重根r₁=r₂=-1；
故该齐次方程的通解为y=(C₁+C₂x)e^(-x)
下面再求一个特解y*；用待定系数法：设特解为y*=ax²e^(-x)
(y*)'=2axe^(-x)-ax²e^(-x)=(2ax-ax²)e^(-x)
(y*)''=(2a-2ax)e^(-x)-(2ax-ax²)e^(-x)=(2a-4ax+ax²)e^(-x)
代入原式得(2a-4ax+ax²)e^(-x)+2(2ax-ax²)e^(-x)+ax²e^(-x)=e^(-x)
消去e^(-x)得(2a-4ax+ax²)+4ax-2ax²+ax²=1
即有2a=1，故得a=1/2，即有特解为y*=(1/2)x²e^(-x)
故原方程的通解为：y=(C₁+C₂x)e^(-x)+(1/2)x²e^(-x)=[C₁+C₂x+(1/2)x²]e^(-x)

Answer 3

x^3/3-e^x+C ; x^3/3+tanx+C; ln(2x-3)/2+C; -cos(x/2)/2+C; 2√x-2ln（1+√x）+C；(xe^3x)/3-e^3x+C;
(1+2x)^3/6=9（-2积分到1）；tsint （0积分到pi/6）+cost(0积分到pi/6)=pi/12-√3/2+1;
-√(1-2x)+1/√(1-2x) (0到1/4积分）=(2/3)*(1-2x)^(3/2)+2*√(1-2x) (0到1/4积分=
心算真累。先做这么多。

Answer 4

一下子问这么多，我数学不好，算题慢。