Question

高数问题，求救

已知f（x）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式：
f（1+sin x）-3f(1-sin x)=8x+o(x).
且f（x）在x=1处可导，求曲线y=f（x）在点（6、f（6））处的切线法方程

Answer 1

切线方程吧？
∵f（x）是周期为5的连续函数
∴f(x)=f(x+5),f(6)=f(1)
∴f′(6)=lim[f(x+6)-f(6)]/x
x→0
=lim[f(x+1)-f(1)]/x
x→0
=f′(1)
∵f（1+sin x）-3f(1-sin x)=8x+o(x)
∴x→0时，f(1)-3f(1)=0,则f(1)=limf(x)=0(由连续可得)即f(6)=0
x→0
又∵f（1+sin x）-3f(1-sin x)=8x+o(x)
∴f(1+sinx)-f(1)-3f(1-sinx)+3f(1)=8x+o(x)
∴[f(1+sinx)-f(1)]+[3f(1)-3f(1-sinx)]=8x+o(x)
∴lim{[f(1+sinx)-f(1)]+[3f(1)-3f(1-sinx)]}/sinx=[8x+o(x)]/sinx
x→0
∴f′(1)+3f′(1)=8
∴f′(1)=2
∴曲线y=f（x）在点（6、f（6））处的切线方程:y-0=2(x-6)即y=2x-12.

Answer 2

由于在x=0的某个邻域内有f（1+sin x）-3f(1-sin x)=8x+o(x).

limx->0 [f（1+sin x）-3f(1-sin x)]/x=8;

f（x）在x=1处可导，由洛必达法则，

lim x->0[f’（1+sin x）.cos x + 3 f’(1-sin x).cos x]/1 = 8;

由f(x)是连续函数，f’（1） + 3 f’(1) = 8；

f’（1）=2；f（x）是周期为5的连续函数，所以f’（6）=2；

y-f(6)=y-f(1)=2（x-6）；

又f（1）-3f(1)=0.f（1）=0；
曲线y=f（x）在点（6、f（6））处的切线方程 是
y=2x-12;