Question

矩阵的秩为什么小于或等于矩阵行列的最小值？

Answer 1

矩阵的秩小于等于矩阵行列的最小值的原因有以下方面：

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。初等变换不改变矩阵的秩。如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

扩展资料：

变化规律

1、转置后秩不变。

2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵。

3、r(kA)=r(A),k不等于0。

4、r(A)=0 <=> A=0。

5、r(A+B)<=r(A)+r(B)。

6、r(AB)<=min(r(A),r(B))。

7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)。

证明：

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵，|AB O|，|O En|，A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有，|AB A|，|0 En|，右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有|0 A |，|-B En|，所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)，即r(A)+r(B)-n<=r(AB)。

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n矩阵。特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n。

8、P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。 

9、若矩阵可相似对角化则矩阵的秩等于矩阵非零特征值的个数。

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩