Question

在数列{an}中,a1=-1,a2=0,an+1+4an-1=4an

在数列{an}中,a1=-1,a2=0,an+1+4an-1=4an（n≥2），数列｛bn｝满足bn=an+1-2an.
试证数列｛bn｝为等比数列，并求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；
求数列｛an｝的前n项和Sn.
注：题中n+1、n-1、n为a或b右下角角标

Answer 1

1.b(n+1)=a(n+2)-2a(n+1) 而a(n+2)=4a(n+1)-4an b(n+1)=2a(n+1)-4an=2[a(n+1)-2an]=2bn 即bn为公比等于2的等差数列则祥 其中b1=a2-2a1=2 bn=2^n
2^n=a(n+1)-2an 2^(n-1)=an-2a(n-1) 2^(n-1)=2a(n-2)-4a(n-2) …… 2^(n-1)=2^(n-2)a2-2^(n-1)a1
叠加可得an- 2^(n-1)a1=(n-1)2^(n-1) an=(n-2)2^(n-1)
2.sn=-1*2^0+0*2^1+1*2^2+……+(n-2)2^(n-1)
2sn= -1*2^1+0*2^2+……+(n-3)2^(n-1)+(n-2)2^n
下减上可得孙历搏sn=1-[2^1+2^2+……烂闷+2^(n-1)]+(n-2)2^n=3+(n-3)2^n