Question

已知四边形ABCD点E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点

（1）求证四边形EFGH是平行四边形（2 ）当对角线AC.BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形并说明理由
（3） 当AC.BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形（4） 当AC.BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形

Answer 1

1、连接AC和BD
∵E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点
∴EF是△ABC中位线，HG是△ACD的中位线
EH是△ABD中位线，FG是△BCD中位线
∴EF=1/2AC，HG=1/2AC
EH=1/2BD，FG=1/2BD
∴EF=HG，EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形
2、AC⊥BD，平行四边形EFGH就是矩形。
E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD,EF∥AC，HG∥AC。
当AC⊥BD时，
∵EH∥BD，FG∥BD,EF∥AC，HG∥AC。
∴EH⊥EF，EF⊥EH，HG⊥FG，HG⊥EH。
∴EFGH就是矩形。
3、AC=BD
4、AC=BD且AC⊥BD