Question

高中数学，关于求回归直线方程。

请问b的式子如何得来？感谢！

Answer 1

我们假设测定的时候，横坐标没有误差（自己设计的样品，认为没有误差），所以认为误差完全出现在纵坐标上，即测定值上。所以只要求出拟合直线上的点和样品纵坐标值的距离的最小值，就好了。就认为这个直线离所有点最近。
设回归直线为y=mx+b。任意一点为(Xi,Yi),i是跑标，表示任意一个值。即求点(Xi,Yi)到与该点横坐标相同的拟合直线上的点(Xi,mXi+b)距离的最小值。所以距离为纵坐标相减，即d=|Y-Yi|=|mXi+b-Yi|。绝对值不好算，就换成平方。有d^2=(mXi+b-Yi)^2。现在把所有的距离相加。
即Σ（i=1,n)，从1开始，加到第n个，(我就不写了太费劲)。 Σd^2=Σ(mXi+b-Yi)^2。

把d^2分别对m和b求偏导，因为你应该学过，最小值时候，导数应该等于0。
对m求，m即斜率，认为斜率是变量，其他都看成常量。
Σ[2*(mXi+b-Yi)Xi]=0，
展开得mΣXi^2+bΣXi-ΣXiYi=0，解出b=(ΣYi-mΣXi)/n，n表示一共多少个点， 就是代数预算，自己试试。

对b求偏导，
Σ[2*(mXi+b-Yi)*1]=0，解出mΣXi+nb=ΣYi
联立方程，解出m和b。有，

m=(nΣXiYi-ΣXiΣYi) / (nΣXi^2-(ΣXi)^2)

b=(ΣYi-mΣXi)/n

因为求和的ΣXi等于n乘以平均数。
所以继续变形，就有