Question

求这四个极限，用洛必达法则。

Answer 1

为简便计算，常可将某些因式用等价无穷小代替，如e^x-1~x

(打字不便，将lim下的变量趋势省略）

1. 原极限式=limx^2/(1-cosx)         分子用等价无穷小代替

   =lim2x/sinx                               罗比达法则

   =2  

2. 原极限式=lim（-ln tanx/ lnx )    用倒数关系将分子变为正切式 

   =lim[-1/tanxcos(^2)x/ (1/x ) ]      罗比达法则

   =-limx/xcos(^2)x=-1                    tanx~x

3. 令t=1-x,当x→时，t→0

   ∴原极限式=lim t tan(π/2-πt/2)=lim t/ tan(πt/2)

   =lim t/(πt/2)=2/π  本题不用罗比达法则也容易求得。当然，也可用罗比达法则不用等价无穷小

4. 原极限式=lim（e^x-1-x)/[x(e^x-1)]        ∞-∞型必须通分变为∞/∞或0/0型

   =lim（e^x-1-x)/[x*x]           注意，只有因式可用等价无穷小代替

   =lim（e^x-1)/(2x)      罗比达法则

   =1/2

Answer 2

(1)原式=lim[2xe^(x^2)]/sinx=lim[2e^(X^2)+4x^2e^(x^2)]/cosx=2
(2)原式=lim-x/[cotx*(sinx)^2]=lim-2x/sin2x=lim-2/(2cosx2x)=-1
(3)原式=lim(1-x)/cot(πx/2)=lim[sin(πx/2)]^2/(π/2)=2/π
(4)原式=lim(e^x-1-x)/[x(e^x-1)]=lim(e^x-1)/(e^x-1+xe^x)=lime^x/(2e^x+xe^x)=lim1/(2+x)=1/2

追问

虽然没有采纳你的，但是还是非常感谢，辛苦了。