Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a≥b,sinA+√3cosA=2sinB

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a≥b,sinA+√3cosA=2sinB
(1)求角c的大小
(2)求(a+b)/c的最大值

Answer 1

sinA+√3cosA＝2sinB
1/2sinA+√3/2cosA＝sinB
sin(A+π/3)-sinB=0
2cos[(A+π/3)+B]/2*sin[(A+π/3)-B]/2=0
2cos[(A+B)/2+π/6]*sin[(A-B)/2+π/6]=0
2sin(C/2-π/6)*sin[(A-B)/2+π/6]=0
sin[(A-B)/2+π/6]不等于0
sin(C/2-π/6)=0
C/2-π/6=0
C=π/3

sinB=1/2sinA+√3/2cosA
(a+b)/c=(sinA+sinB)/sinC=[sinA+1/2sinA+√3/2cosA]/√3/2
=(3/2sinA+√3/2cosA)/√3/2
=2(√3/2sinA+1/2cosA)
=2sin(A+π/6)
Isin(A+π/6)I<=1
2Isin(A+π/6)I<=2,最大值为2
(a+b)/c最大值=2