高等代数中关于线性映射的一道题 10
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首先在复空间上讨论
利用可交换性可知存在V的一组基使得σ1和σ2在这组基下的表示矩阵T1, T2都是上三角阵
当m>n时0特征值一定是非亏损的, 也就是说rank(Ti^{m+k})=rank(Ti^m)
从矩阵表示直接可以看到Im(σi^m)是σi的非零特征值对应的不变子空间
不难证明存在无穷多个m使得对每个对角元(特征值)都有T1(i,i)^m+T2(i,i)^m=0 <=> T1(i,i)=T2(i,i)=0
看一下σ1^m+σ2^m的表示矩阵就知道上述m就可以满足条件
第2问只需验证交集为{0}即可
然后, 对于一般的数域, 注意(1)的左端永远包含于(1)的右端, 所以只需分析空间维数即可, 空间维数又可归结为秩, 秩在域扩张下不变, 所以只要对复数域证明了结论就适用于一般的数域.
利用可交换性可知存在V的一组基使得σ1和σ2在这组基下的表示矩阵T1, T2都是上三角阵
当m>n时0特征值一定是非亏损的, 也就是说rank(Ti^{m+k})=rank(Ti^m)
从矩阵表示直接可以看到Im(σi^m)是σi的非零特征值对应的不变子空间
不难证明存在无穷多个m使得对每个对角元(特征值)都有T1(i,i)^m+T2(i,i)^m=0 <=> T1(i,i)=T2(i,i)=0
看一下σ1^m+σ2^m的表示矩阵就知道上述m就可以满足条件
第2问只需验证交集为{0}即可
然后, 对于一般的数域, 注意(1)的左端永远包含于(1)的右端, 所以只需分析空间维数即可, 空间维数又可归结为秩, 秩在域扩张下不变, 所以只要对复数域证明了结论就适用于一般的数域.
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