Question

如图,抛物线y=x^2-2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,点P在抛物线上.△APC为直角三角形,求p点坐标

Answer 1

P点坐标为((7+√145)/6,(1+√145)/18)或((7-√145)/6,(1-√145)/18)。

以下是抛物线的相关介绍：

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

以上资料参考百度百科——抛物线

Answer 2

由抛物线方程y=x²-2x-3，不难得出点A坐标(-1,0)，点B坐标(3,0)，点C坐标(0,-3)。
设点P为(m,n)，由于P为CD的中点，则点D坐标为(2m,2n+3)。
BC斜率为(-3-0)/(0-3)=1
由BC垂直于BD，得BD斜率为(2n+3)/(2m-3)=-1       （1）
又因为点P在抛物线上，则n=m^2-2m-3            （2）
联立（1），（2）式子，求得：
m=(1+√13)/2或(1-√13)/2
所以P点坐标为((1+√13)/2,(-1-√13)/2))或((1-√13)/2,(-1+√13)/2)
如果A坐标(3,0)，点B坐标(-1,0)，点C坐标(0,-3)。
设点P为(m,n)，由于P为CD的中点，则点D坐标为(2m,2n+1)。
BC斜率为(-3-0)/(0+1)=-3
由BC垂直于BD，得BD斜率为(2n+1)/(2m+1)=1/3       （1）
又因为点P在抛物线上，则n=m^2-2m-3            （2）
联立（1），（2）式子，求得：
m=(7+√145)/6或(7-√145)/6
所以P点坐标为((7+√145)/6,(1+√145)/18)或((7-√145)/6,(1-√145)/18)