Question

设n阶方阵A、B满足A^2+AB+B^2=0,且B可逆,试证A和A+B都可逆,并求它们的逆矩阵

Answer 1

根据A^2+AB+B^2=0可得A(A+B)=-B^2, 进一步可得到A(A+B)(-B^2)^(-1)=I，
相应地，(-B^2)^(-1)A(A+B)=I,
从而可知 A和A+B都可逆，
并且有A^(-1)=(A+B)(-B^2)^(-1), (A+B)^(-1)=(-B^2)^(-1)A。

追问

并且有后面那个我还是没看懂啊~~

追答

这是因为: 如果令U=(A+B)(-B^2)^(-1),则AU=I, 从而根据逆矩阵的定义可推出A^(-1)=U.
同理，如果令V=(-B^2)^(-1)A, 则V(A+B)=I, 从而根据逆矩阵的定义可推出(A+B)^(-1)=V.

追问

好的~~ 谢谢