Question

抽屉原理

对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除。
①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除. 那如果我是从余数0这里的抽屉取1个，从余数为1的抽屉里取2个，那么余数和是2，就不能被3整除了？我错哪里了？？
对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除. 这题用跟上题同样的思路，该怎么解？

Answer 1

自然数被3除的余数只有3种（0、1、2）
1.如果5数中有3数被3除的余数相同，则这3个数的和能被3整除；
2.如果五个自然数被3除的余数不存在3个相同的（至多2个相同），因为被3除的余数只有3种（0、1、2），5个数被3除的余数共5个，则由抽屉原理可得到每种余数至少都有1个。这时，选取余数不同的3个数，它们的和被3整除。

说明：题目是要求证明一定存在（必有），即总可以从中找出3数，不是说其中任意3数都使其和能被3整除。
补充之证明：设这11个整数为：a1，a2，a3……a11

①先考虑被3整除的情形
由以上题目知，在11个任意整数中，必存在3个数的和能被3整除,设这3数为a1，a2，a3，有
3|a1+a2+a3
不妨设a1+a2+a3=p；
同理，剩下的8个任意整数中，由以上题目，必存在：3 | a4+a5+a6.
不妨设a4+a5+a6=q；
同理，其余的5个任意整数中，
有：3|a7+a8+a9
设：a7+a8+a9=r
②再考虑p,q,r被2整除.
依据抽屉原理，p,q,r这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|p+q;
因为6=3*2，由①②得，
6|p+q
即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数.

Answer 2

是这样的，因为题目所说的是其中必有3个数的和能被3整除，它是存在性问题，而不是任意性问题，因此，你后面的解答偏离了题的意思，对于后面的问题补充，类似上面的问题解答，就不再累述.