Question

已知函数f（x）=loga[（a的x次方）-1]（a＞0且a≠1）

1、求函数f（x）的定义域
2、讨论函数f（x）的单调性
3、x为何值时，函数值大于1

Answer 1

1、
根据题意：a^x-1＞0，即a^x＞1必成立

当0＜a＜1时，a^x＞1，解得：x＜0，即函数定义域为（-∞，0）

当a＞1时，a^x＞1，解得：x＞0，即函数定义域为（0，+∞）

2、判断单调性，也需要分类讨论
当0＜a＜1时，外函数logax是减函数，内函数1-a^x是增函数（因为a^x是减函数，前面增加负号，就是增函数） ，合起来就是减函数
因此，当0＜a＜1时，f(x)=loga(1-a^x)是减函数

当a＞1时，外函数logax是增函数，内函数1-a^x是增函数（因为a^x是增函数，前面增加负号，就是减函数） ，合起来就是减函数
因此，当a＞1时，f(x)=loga(1-a^x)是减函数

2、f(x)＞1，即loga（a^x-1）＞1

①当0＜a＜1时，0＜a^x-1＜a，1＜a^x＜1+a
所以loga（1+a）＜x＜0

②当a＞1时，a^x-1＞a，a^x＞1+a
即：x＞loga（1+a）

综上：当0＜a＜1，且loga（1+a）＜x＜0时，函数值大于1 ；
当a＞1，且x＞loga（1+a）时，函数值大于1

Answer 2

根据对数函数的定义域，所以a(a^x-1)>0,
又因为a>0
所以a^x<1
所以当0<a<1时，x>0
当1<a时，x<0.
所以函数f(x)的图像在y轴的一侧。
假设x1<x2
若0<a<1，则a^x1>a^x2,a^x1-1>a^x2-1
所以loga(a^x1-1)<loga(a^x2-1)
所以[loga(a^x1-1)-loga(a^x2-1)]/（x1-x2）>0
若1<a，则a^x1<a^x2,a^x1-1<a^x2-1
所以loga(a^x1-1)<loga(a^x2-1)
所以[loga(a^x1-1)-loga(a^x2-1)]/（x1-x2）>0
所以函数f（x）图像上任意两点斜率大于0.

Answer 3

（1）0<a<1时，x<0

a>1时，x>0
（2）设x2>x1
f(x2)-f(x1)=log a(a^x1-1)-log a(a^x2-1)
=log a[(a^x1-1)/(a^x2-1)]
分情况讨论
可得，为单调增函数
（3）x>a/2 或 x<-a/2