Question

高中数学最值应用题

郑州市政府为了调节蔬菜价格，扩大冬季蔬菜的种植面积，在郊区改建一批长方体形状的温室大棚，为了节约资金，利用现有的旧墙作为温室大棚的背面墙体。每个温室大棚的占地面积为600平方米，温室大棚正面墙每平方米的造价是800元，温室大棚侧面墙每平方米的造价为600元，温室大棚的屋顶造价为6000元，如果墙高3米，且不计温室大棚背面和地面费用，问建造一个这样的温室大棚如何设计才能使总造价最低，最低总造价是多少？

Answer 1

设地面的长（正面一侧）为x米，宽（侧面一侧）为y米，则xy=600，y=600/x，则正面墙造价3x*800元，侧面墙造价2*3y*600元，屋顶造价6000元，
总造价z=2400x+3600y+6000xy=2400x+2160000/x +6000>=2根号下（2400*2160000)+6000
=144000+6000=150000元，等号当且仅当2400x=2160000/x，即x=30时成立，可见，地面靠正面墙长为30米，靠侧面墙长为20米时，总造价最低，最低造价为150000元
说明：（1）上面的计算按屋顶的造价是6000元计算，不是按屋顶每平米6000元算
（2）如果学了导数，求出目标函数后，也可利用求导来求目标函数的最小值