Question

设F1 F2分别为椭圆x平方除3+y平方=1的左右焦点，点AB在椭圆上，若向量F1A=5乘向量F2

设F1 F2分别为椭圆x平方除3+y平方=1的左右焦点，点AB在椭圆上，若向量F1A=5乘向量F2B，求A的坐标.

Answer 1

• x^2+3y^2=3
   a=√3,  c=√2  
  F1(-√2,0),F2(√2,0)
  延长AF1交椭圆A'
  ∵F1A=5F2B  
  由椭圆的对称性得|F1A|=5|F1A'|  
  设 AA':x=ty-√2代入x^2+3y^2=3
  得： （ty-√2）^2+3y^2-3=0
         (t^2+3)y^2-2√2ty-1=0
    令A(X1,Y1), A'(X2,Y2)
  则由韦达定理得：
     y1+y2=2√2t/ (t^2+3)
       y1y2=-1/ (t^2+3)
   ∵|F1A|=5|F1A'|  
    ∴y1=-5y2
    -4y2= 2√2t/ (t^2+3)   (1)
    5y2^2 =1/(t^2+3)==>  (2)
    (1)^2/(2):
    2/5 =t^2/(t^2+3)
  ∴ t^2=2
    y^2=1/25,  y1^2=1, y1=±1, x1=0
  ∴ A(0,±1)

追问

何来“延长AF1交椭圆A‘”？

追答

延长AF1,交椭圆于C 你自己做个图，设个点就可以了

这个设的是A'

追问

F1A=5F1A’???

追答

怎么了？

追问

不明白，根据对称性F1A不是应该等于F1A‘?

追答

这是浙江的高考题，找到了这个的答案了，你看看。

追问

椭圆焦点F1(-√2,0) F2(√2,0)；
AB:x=ty+√2
与x^2/3+y^2=1联立消去x得：
（ty+√2)^2+3y^2=3
即：(t^+3)y^2+2√2ty-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
y1+y2=-2√2t/(t^2+3) (1)
y1y2=-1/（t^2+3) (2)
∵向量F1A=5F2B
∴y1=-5y2 代入（1）（2）：
-4y2=-2√2t/(t^2+3) (3)
-5y2^2=-1/(t^2+3) (4)
(3)^2/(4):t^2=2,t=±√2
y2=1/5 或, y2=- 1/5
∴ y1=-1， x1=0
或 y1=1， x1=0
∴A（0，-1）或A（0，1）