Question

均值不等式包含哪些基本不等式公式？

Answer 1

均值不等式公式叫做平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数。

基本不等式公式都包含：

A=（a+b）/2，叫做a、b的算术平均数。

G=√（ab），叫做a、b的几何平均数。

S=√［（a^2+b^2）/2］，叫做a、b的平方平均数。

H=2/（1/a+1/b）=2ab/（a+b）叫做调和平均数。

不等关系：H=<G=<A=<S。其中G=<A是基本的。

相关介绍

均值不等式公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)。

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)。

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n。

4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n。

Answer 2

均值不等式涵盖了一些基本的不等式公式，其中最常见和重要的是：

1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：
对于非负实数 a 和 b，有以下不等式成立：
(a + b) / 2 ≥ √(ab)
等号在且仅在 a = b 时成立。

2. 几何平均-调和平均不等式（GM-HM不等式）：
对于正实数 a 和 b，有以下不等式成立：
2/(1/a + 1/b) ≤ √(ab)
等号在且仅在 a = b 时成立。

3. 算术平均-调和平均不等式（AM-HM不等式）：
对于正实数 a 和 b，有以下不等式成立：
(a + b) / 2 ≥ 2/(1/a + 1/b)
等号在且仅在 a = b 时成立。

这三个基本的均值不等式都描述了不同类型的平均值之间的关系，即算术平均值、几何平均值和调和平均值。它们在求证和优化问题中经常被使用，并且有广泛的应用。