Question

高中数学函数解题方法

高中数学函数解题方法

Answer 1

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Answer 2

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例
1
求函数
y=3+√(2－
3x)
的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－
3x)
的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故
3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为
.

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（
1
）被开方数的非负性，（
2
）值的
非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，
这种方法对于一类函数的值域的
求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数
y
=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
｝）

二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例
2
求函数
y=(x+1)/(x+2)
的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：
显然函数
y=(x+1)/(x+2)
的反函数为
:x=(1
－
2y)/
（
y
－
1
）
,
其定义域为
y≠1
的实数
,
故函数
y
的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：
利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种
方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：
求函数
y=(10x+10-x)/(10x
－
10-x)
的值域。
（答案：
函数的值域为
｛y∣y<
－
1
或
y>1
｝）

三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时
,
可以利用配方法求函
数值域

例
3
：求函数
y=√(－
x2+x+2)
的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为
x∈[－
1
，
2]
。此时－
x2+x+2=
－（
x
－
1/2
）
2
＋9/4∈[0，
9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是
[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用
,
而且要特别注意定义域对值
域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数
y=2x
－
5
＋√15－
4x
的值域
.(
答案
:
值域为{y∣y≤3})

四．判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数
,
可用判别式法求函数
的值域。

例
4
求函数
y=(2x2
－
2x+3)/(x2
－
x+1)
的值域。

点拨：
将原函数转化为自变量的二次方程，
应用二次方程根的判别式，
从而确
定出原函数的值域。

解：将上式化为（
y
－
2
）
x2
－
(y
－
2)x+(y-3)=0
（＊）

当
y≠2
时
,
由
Δ
=(y
－
2)2
－
4
（
y
－
2
）
x+(y
－3)≥0，解得：
2
＜x≤10/3

当
y=2
时
,
方程
(
＊
)
无解。∴函数的值域为
2
＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程
F(x,y)=0
，由于方程有实数解，故其判别式
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为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如
y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)
及
y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数
y=1/(2x2
－
3x+1)
的值域。（答案：值域为
y≤－
8
或
y>0
）。

五．最值法

对于闭区间
[a,b]
上的连续函数
y=f(x),
可求出
y=f(x)
在区间
[a,b]
内的极值
,
并与边界值
f(a).f(b)
作比较
,
求出函数的最值
,
可得到函数
y
的值域。

例
5
已知
(2x2-x-
3)/(3x2+x+1)≤0,且满足
x+y=1,
求函数
z=xy+3x
的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量
x
的取值范围，将目标函数消元、配方，可求
出函数的值域。

解：∵3x2+x+1＞
0
，上述分式不等式与不等式
2x2-x-
3≤0
同解，解之得－
1≤x≤3/2，又
x+y=1
，将
y=1-x
代入
z=xy+3x
中，得
z=-x2+4x(-
1≤x≤3/2),

∴z=
-(x-2)2+4
且
x∈[
-1,3/2],
函数
z
在区间
[-1,3/2]
上连续，
故只需比较边
界的大小。

当
x=-1
时，
z=
－
5
；当
x=3/2
时，
z=15/4
。

∴函数
z
的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，
也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x
为实数，则函数
y=x2+3x-5
的值域为

（

）

A
．（－∞，＋∞）
B
．
[
－
7
，＋∞]
C
．
[0
，＋∞）
D
．
[
－
5
，＋∞）

（答案：
D
）。

六．图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例
6
求函数
y=∣x+1∣+√(x
-2)2
的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为

－
2x+1
(x≤1)

y= 3 (-
1<x≤2)

2x-1(x>2)

它的图象如图所示。

显然函数值
y≥3,所以，函数值域
[3
，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，
还适应通过不等式法、
函数的单调性、
换元法等方法
求函数的值域。

七．单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例
1
求函数
y=4x
－√1
-
3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即
g(x)=
－√1
-3x,y=f(x)+g(x)
，其定义
域为
x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设
f(x)=4x,g(x)=
－√1
-
3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，
从而
y=f(x)+g(x)= 4x
－√1
-3x
在定义域为
x≤1/3
上也为增函数，而且
y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的
函数值域为｛y|y≤4/3｝。

点评：
利用单调性求函数的值域，
是在函数给定的区间上，
或求出函数隐含的
区间，
结合函数的增减性，
求出其函数在区间端点的函数值，
进而可确定函数的
值域。

练习：求函数
y=3+√4
-x
的值域。
(
答案：｛y|y≥3｝
)

八．换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形
式，进而求出值域。

例
2
求函数
y=x-
3+√2x+1 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，
确定原函数的值域。

解：设
t=√2x+1 （t≥0）
,
则

x=1/2(t2-1)
。

于是
y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-
4≥1/2
-4=-7/2.

所以，原函数的值域为｛y|y≥－
7/2
｝。

点评：
将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，
通过求出二次函数的最值，
从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、
化归的思想方法。
它的应
用十分广泛。

练习：求函数
y=√x
-1
–
x
的值域。（答案：｛y|y≤－
3/4
｝

九．构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例
3
求函数
y=√x2+4x+5+√x2
-4x+8
的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为
f(x)=√(x+2)2+1+√(2
-x)2+22

作一个长为
4
、宽为
3
的矩形
ABCD
，再切割成
12
个单位

正方形。设
HK=x,
则
ek=2-
x,KF=2+x,AK=√(
2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当
A
、
K
、
C
三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数
y=√x2+a ±√(c
-x)2+b(a,b,c
均为正数
)
，均可通过构
造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数
y=√x2+9 +√(5
-x)2+4
的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

十．比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，
可将条件转化为比例式，
代入目标函数，
进而求出原函数的值域。

例
4
已知
x,y∈R，且
3x-4y-5=0,
求函数
z=x2+y2
的值域。

点拨：将条件方程
3x-4y-5=0
转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：由
3x-4y-5=0
变形得，
(x3)/4=(y-1)/3=k(k
为参数
)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

当
k=
－
3/5
时，
x=3/5,y=
－
4/5
时，
zmin=1
。

函数的值域为｛z|z≥1｝
.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过
设参数，
可将原函数转化为单函数的形式，
这种解题方法体现诸多思想方法，
具
有一定的创新意识。

练习：已知
x,y∈R，且满足
4x-y=0,
求函数
f(x,y)=2x2-y
的值域。（答案：
｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多项式的除法

例
5
求函数
y=(3x+2)/(x+1)
的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解：
y=(3x+2)/(x+1)=3
－
1/(x+1)
。

∵1/(x+1)≠0，故
y≠3。

∴函数
y
的值域为
y≠3
的一切实数。

点评：对于形如
y=(ax+b)/(cx+d)
的形式的函数均可利用这种方法。

练习：求函数
y=(x2-1)/(x-
1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例
6
求函数
Y=3x/(3x+1)
的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

解：易求得原函数的反函数为
y=log3[x/(1-x)],

由对数函数的定义知
x/(1-x)
＞
0
1-
x≠0

解得，
0
＜
x<1
。

∴函数的值域（
0
，
1
）。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出
函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是
数学解题的方法之一。

以下供练习选用：求下列函数的值域

1
．Y=√(15－
4x)+2x-5
；（｛y|y≤3｝）

2
．
Y=2x/(2x
－
1)
。

（
y>1
或
y<0
）

注意变量哦

Answer 3

这个要多练习。讲得讲的