Question

边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点

F，作PE⊥PB交直线CD于点E，设PA=x，S△PCE=y，
（1）求证：DF=EF；
（2）当点P在线段AO上时，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA的长；如果不能，请简单说明理由．

Answer 1

提示：
⑴过P作BC的垂线，垂足为G。
∵P是AC上的点，
∴PG＝PF，
又 ∠BPG+∠EPG=∠RPG+∠EPF=90°，
将⊿PBG绕P逆时针旋转90°;与⊿PEF重合，
即△BPG≌△PEF；
, ∴BG=EF。
⑵ AP=x，则EF＝BG＝√2/2·x，
CE＝4 －√2·x
PF＝4－√2/2·x
故y＝1/2(4－√2x)(4－√2/2·x)
＝1/2x²;－3√2x＋8，﹙0≤x≤2√2﹚。
⑶ ①若P点在AO上时，
显然，当x＝0或x＝2√2时，△PEC是等腰三角形。
②若P在OC上时，则E点在DC的延长线上，
当PC＝CE 即可。
而PC＝4√2－x，CE＝√2x－4，
∴4√2－x＝√2x－4，
解之，得x＝4；
综上， 当x=0，或x＝2√2，或x＝4时，⊿PEC是等腰三角形。