Question

∫xf﹙x²﹚f'﹙x²﹚dx=

怎么解

Answer 1

显然，
∫xf'﹙x²﹚dx=1/2f(x²),对比原题目，xf'﹙x²﹚只少了一个f(x²),为了在被积函数中出现一个f(x²)，可以使原函数中的f(x²)平方，即[f(x²)]²,对y=[f(x²)]²求导，有
y'=2f(x²)*2xf'﹙x²﹚=4xf﹙x²﹚f'﹙x²﹚,只比原被积函数多一个4，
因此，原式=(1/4)y=1/4 *[f(x²)]²+c

Answer 2

∫xf﹙x²﹚f'﹙x²﹚dx=(1/2)∫f﹙x²﹚f'﹙x²﹚d(x^2)=(1/2)∫f﹙x²﹚df(x^2)
=[f﹙x²﹚]^2/4