Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（根号3，0）

（1）求双曲线C的方程（2）若直线L：y=kx+根号2与双曲线C有两个不同的交点A和B，且向量OA×向量OB>2(其中O为原点） 求k的取值范围 请写出详细的过程

Answer 1

(1)∵右焦点为(2,0) 右顶点(√3,0)
∴c=2，a=√3 ∴b=c^2-a^2=1∴双曲线方程为： x^2/3-y^2=1
(2).1°∵直线L:y=kx+√2与双曲线C有两个不同的交点A和B∴（1-3k^2)x^2-6√2kx-9=0
∴△=（-6√2k）^2-4*(1-3k^2)*(-9)＞0 ..................................1
2°设A(x1,y1)B(x2,y2) ∵OA*OB=x1*x2+y1*y2>2
∵（1-3k^2)x^2-6√2kx-9=0 ∴x1*x2=(6√2k)/(1-3k^2) ∴y1*y2=(kx1+√2)*(kx2+√2)
∴(6√2k)/(1-3k^2) +(kx1+√2)*(kx2+√2)>2....................................2
由1.2求得K的范围，最后求交集

Answer 2

∵c=2,a=√3
∴双曲线方程为x²/3-y²=1
设
CD的斜率=k，则垂直平分线的斜率=-1/k，
设C、D两点为（x1,y1),(x2,y2)，设CD中点M为(a,b)，
设平分线为L：y=-x/k+b2
因L经过（0，-1）
得b2=-1
L为y=-x/k-1
因(x12-x22)/3=(y12+1)-(y22+1)
=>(x1+x2)/3(y1+y2)=(y1-y2)/(x1-x2)=k
则a/3b=k,
又M点也在直线L上则b=-a/k-1(将k=a/3b代入）
得b=-1/4，k=-4a/3
显然M点也在直线y=kx+m上，则b=ka+m
则-1/4=-3k2/4+m
3k2=4m+1
将y=kx+m代入双曲线方程消去y
x2/3-k2x2-2kmx-m2-1=0要使方程有两实根
则4m2k2-4(-m2-1)(1/3-k2)>0
=>m2/3-k2+1/3>0
=>m2+1>3k2=4m+1
解得m>4或m<0O(∩_∩)O，希望对你有帮助